$\frac{x}{b-c} = \frac{y}{c-a} = \frac{z}{a-b}$ のとき、$ax+by+cz = 0$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

$\frac{x}{b-c} = \frac{y}{c-a} = \frac{z}{a-b}$ のとき、$ax+by+cz = 0$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式から、$x$, $y$, $z$ を $b-c$, $c-a$, $a-b$ の定数倍で表すことを試みる。

$\frac{x}{b-c} = \frac{y}{c-a} = \frac{z}{a-b} = k$ （$k$は定数）とおくと、

$x = k(b-c)$

$y = k(c-a)$

$z = k(a-b)$

となる。

次に、$ax+by+cz$ に上記の $x$, $y$, $z$ を代入する。

$ax+by+cz = a(k(b-c)) + b(k(c-a)) + c(k(a-b))$

$= k(ab - ac) + k(bc - ab) + k(ca - cb)$

$= k(ab - ac + bc - ab + ca - cb)$

$= k(ab - ab - ac + ca + bc - cb)$

$= k(0)$

$= 0$

したがって、$ax+by+cz=0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$ax+by+cz = 0$