数列 $\{a_n\}$ が初項 2、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列である。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の階差数列が数列 $\{a_n\}$ であるとき、$b_2 - b_1$ と $b_3 - b_2$ を $a_n$ を用いて表す。 (3) 数列 $\{b_n\}$ が等比数列であるとき、数列 $\{b_n\}$ の公比 $r$ を求める。 (4) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が初項 2、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列である。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の階差数列が数列 $\{a_n\}$ であるとき、$b_2 - b_1$ と $b_3 - b_2$ を $a_n$ を用いて表す。

(3) 数列 $\{b_n\}$ が等比数列であるとき、数列 $\{b_n\}$ の公比 $r$ を求める。

(4) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の一般項の公式より、$a_n = a_1 r^{n-1}$ である。初項 $a_1 = 2$, 公比 $r = \frac{1}{3}$ を代入する。

(2) 階差数列の定義より、$b_2 - b_1 = a_1$、$b_3 - b_2 = a_2$ である。

(3) 数列 $\{b_n\}$ が等比数列であるとき、$\frac{b_3 - b_2}{b_2 - b_1} = r$ が成り立つ。これに (2) で求めた値を代入して $r$ を求める。

(4) $b_2 - b_1 = a_1 = 2$ より $b_2 = b_1 + 2$。

また、数列 $\{b_n\}$ の公比が $r$ であるので、$b_2 = b_1 r$。

よって、$b_1 r = b_1 + 2$。これを解いて $b_1$ を求める。

数列 $\{b_n\}$ の一般項は $b_n = b_1 r^{n-1}$ で求められる。

(1)

$a_n = 2 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{2}{3^{n-1}}$

(2)

$b_2 - b_1 = a_1 = 2$

$b_3 - b_2 = a_2 = 2 \cdot (\frac{1}{3})^{2-1} = \frac{2}{3}$

(3)

$r = \frac{b_3 - b_2}{b_2 - b_1} = \frac{a_2}{a_1} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}$

(4)

$b_2 = b_1 + 2$ かつ $b_2 = \frac{1}{3} b_1$ より

$\frac{1}{3} b_1 = b_1 + 2$

$-\frac{2}{3} b_1 = 2$

$b_1 = -3$

よって、

$b_n = -3 (\frac{1}{3})^{n-1} = -3 \cdot \frac{1}{3^{n-1}} = -\frac{3}{3^{n-1}} = -\frac{1}{3^{n-2}}$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 3

ウ: 2

エ: $\frac{2}{3}$

オ: 1

カ: 3

キク: -1

ケ: 3