$a$ を定数とする。方程式 $|(x-4)(x-2)|=ax-5a+\frac{1}{2}$ が相異なる4つの実数解を持つとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。方程式 $|(x-4)(x-2)|=ax-5a+\frac{1}{2}$ が相異なる4つの実数解を持つとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、絶対値記号を外すために場合分けをする。

(1) $(x-4)(x-2) \geq 0$ のとき

$x \leq 2$ または $x \geq 4$ である。

このとき、方程式は $(x-4)(x-2) = ax - 5a + \frac{1}{2}$ となる。

展開して整理すると、$x^2 - 6x + 8 = ax - 5a + \frac{1}{2}$ となり、

$x^2 - (6+a)x + 8 + 5a - \frac{1}{2} = 0$

$x^2 - (6+a)x + 5a + \frac{15}{2} = 0$

この二次方程式の解を $x_1, x_2$ とすると、解の条件は $x_1 \leq 2$ または $x_1 \geq 4$ と $x_2 \leq 2$ または $x_2 \geq 4$ である。

(2) $(x-4)(x-2) < 0$ のとき

$2 < x < 4$ である。

このとき、方程式は $-(x-4)(x-2) = ax - 5a + \frac{1}{2}$ となる。

展開して整理すると、$-x^2 + 6x - 8 = ax - 5a + \frac{1}{2}$ となり、

$x^2 + (a-6)x - 5a + \frac{17}{2} = 0$

この二次方程式の解を $x_3, x_4$ とすると、解の条件は $2 < x_3 < 4$ と $2 < x_4 < 4$ である。

ここで、$y = |(x-4)(x-2)|$ と $y = ax - 5a + \frac{1}{2} = a(x-5) + \frac{1}{2}$ のグラフの交点の数が4つになる条件を考える。

$y = a(x-5) + \frac{1}{2}$ は点 $(5, \frac{1}{2})$ を通る直線である。

$f(x) = (x-4)(x-2) = x^2 - 6x + 8$ とおくと、$f(3) = 9 - 18 + 8 = -1$ である。

グラフを描くと、$2 < x < 4$ の範囲で $y = |f(x)| = -f(x)$ となる。この範囲で2つの交点を持つには、直線が $f(3) = -1$ の点より上を通る必要がある。

つまり、$a(3-5) + \frac{1}{2} > -1$ より、 $-2a + \frac{1}{2} > -1$ 、$-2a > -\frac{3}{2}$ 、$a < \frac{3}{4}$ である。

$x=2$ のとき、$|(2-4)(2-2)| = 0$ より、 $a(2-5) + \frac{1}{2} = -3a + \frac{1}{2} > 0$ 、 $-3a > -\frac{1}{2}$ 、$a < \frac{1}{6}$ である。

また、$x=4$ のとき、$|(4-4)(4-2)| = 0$ より、 $a(4-5) + \frac{1}{2} = -a + \frac{1}{2} > 0$ 、 $-a > -\frac{1}{2}$ 、$a < \frac{1}{2}$ である。

さらに、$y = a(x-5) + \frac{1}{2}$ が $(2, 0)$ と $(4, 0)$ の間を通る必要がある。

$f(5) = (5-4)(5-2) = 3$ より、$a(5-5) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} < 3$ であるから問題ない。

放物線 $f(x) = (x-4)(x-2)$ の頂点の座標は $(3, -1)$ である。

放物線 $g(x) = -f(x) = -(x-4)(x-2)$ の頂点の座標は $(3, 1)$ である。

点 $(5, \frac{1}{2})$ を通る直線 $y = a(x-5) + \frac{1}{2}$ が点 $(3, 1)$ より下を通るには、$a(3-5) + \frac{1}{2} < 1$ より $-2a + \frac{1}{2} < 1$ 、$-2a < \frac{1}{2}$ 、$a > -\frac{1}{4}$ である。

したがって、$a$ の範囲は $-\frac{1}{4} < a < \frac{1}{6}$ である。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{4} < a < \frac{1}{6}$