与えられた数式を展開、因数分解し、特定の値の計算をし、不等式を解く問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。 (1) $(x-3y+2)(x-3y-2)$ の展開 (2) $(x+1)(x^2+2x+1)$ の展開 (3) $6x^2-11x-10$ の因数分解 (4) $x^2-xy-6y^2-4x+7y+3$ の因数分解 (5) $x = \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$, $y = \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ のときの $x+y$ と $xy$ の計算 (6) 不等式 $0.4 < 0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$ の解

1. 問題の内容

与えられた数式を展開、因数分解し、特定の値の計算をし、不等式を解く問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。

(1) $(x-3y+2)(x-3y-2)$ の展開

(2) $(x+1)(x^2+2x+1)$ の展開

(3) $6x^2-11x-10$ の因数分解

(4) $x^2-xy-6y^2-4x+7y+3$ の因数分解

(5) $x = \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$, $y = \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ のときの $x+y$ と $xy$ の計算

(6) 不等式 $0.4 < 0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$ の解

2. 解き方の手順

(1) $(x-3y+2)(x-3y-2)$ を展開します。

$A=x-3y$と置くと，$(A+2)(A-2)=A^2-4$

$A^2=(x-3y)^2=x^2-6xy+9y^2$

よって、$x^2 - 6xy + 9y^2 - 4$

(2) $(x+1)(x^2+2x+1)$ を展開します。

$(x+1)(x+1)^2 = (x+1)^3 = x^3+3x^2+3x+1$

(3) $6x^2-11x-10$ を因数分解します。

$6x^2-11x-10 = (2x-5)(3x+2)$

(4) $x^2-xy-6y^2-4x+7y+3$ を因数分解します。

$x^2 - (y+4)x - (6y^2 - 7y - 3) = x^2 - (y+4)x - (2y-3)(3y+1)$

$(x-3y-1)(x+2y-3)$

(5) $x+y$ と $xy$ を計算します。

$x = \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{2-3} = -2(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = 2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

$y = \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2-3} = -2(\sqrt{2}+\sqrt{3}) = -2(\sqrt{2}+\sqrt{3})$

$x+y = 2(\sqrt{3}-\sqrt{2}) - 2(\sqrt{2}+\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2\sqrt{3} = -4\sqrt{2}$

$xy = 2(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \times -2(\sqrt{3}+\sqrt{2}) = -4(3-2) = -4$

(6) 不等式 $0.4 < 0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$ を解きます。

$0.4 < 0.1x + 1$ より、 $-0.6 < 0.1x$ となり、$x > -6$

$0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$ より、 $0.1x + 1 < 0.5x + 1.4$

$-0.4 < 0.4x$ となり、$x > -1$

よって、$x > -1$

3. 最終的な答え

(1) ア: 6, イ: 9, ウ: 4

(2) エ: 3, オ: 3, カ: 1

(3) キ: 2, ク: 5, ケ: 3, コ: 2

(4) サ: 2, シ: 3, ス: 3, セ: 1

(5) ソタ: -4, チ: 2, ツテ: -4

(6) トナ: -1