2次方程式 $x^2 - 2(m-1)x + m + 5 = 0$ が異なる2つの解を持ち、その解がともに1より大きいとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(m-1)x + m + 5 = 0$ が異なる2つの解を持ち、その解がともに1より大きいとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 - 2(m-1)x + m + 5 = 0$ とする。この方程式が異なる2つの解 $\alpha$, $\beta$ を持ち、かつ $\alpha > 1$ かつ $\beta > 1$ であるための条件を求める。

(1) 異なる2つの実数解を持つ条件：判別式 $D > 0$

判別式 $D = \{ -2(m-1) \}^2 - 4(m+5) = 4(m^2 - 2m + 1) - 4m - 20 = 4m^2 - 8m + 4 - 4m - 20 = 4m^2 - 12m - 16 = 4(m^2 - 3m - 4) = 4(m-4)(m+1)$

$D > 0$ より $4(m-4)(m+1) > 0$

したがって、$m < -1$ または $m > 4$

(2) 2つの解がともに1より大きい条件：

$f(1) > 0$ かつ 軸 > 1

$f(1) = 1^2 - 2(m-1)(1) + m + 5 = 1 - 2m + 2 + m + 5 = 8 - m > 0$

したがって、$m < 8$

軸は $x = \frac{-(-2(m-1))}{2(1)} = m-1$

$m-1 > 1$ より $m > 2$

(3) (1), (2) の共通範囲を求める。

$m < -1$ または $m > 4$

$m < 8$

$m > 2$

よって、$4 < m < 8$

3. 最終的な答え

$4 < m < 8$