2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とする。このとき、$\alpha - 1$ と $\beta - 1$ を解にもつ2次方程式が $x^2 + bx + a = 0$ である。定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とする。このとき、$\alpha - 1$ と $\beta - 1$ を解にもつ2次方程式が $x^2 + bx + a = 0$ である。定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\alpha$ と $\beta$ は $x^2 + ax + b = 0$ の解であるから、解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -a$$

$$\alpha \beta = b$$

$\alpha - 1$ と $\beta - 1$ は $x^2 + bx + a = 0$ の解であるから、解と係数の関係より、

$$(\alpha - 1) + (\beta - 1) = -b$$

$$(\alpha - 1)(\beta - 1) = a$$

これらの式を整理すると、

$$\alpha + \beta - 2 = -b$$

$$\alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1 = a$$

これらに $\alpha + \beta = -a$ と $\alpha \beta = b$ を代入すると、

$$-a - 2 = -b$$

$$b - (-a) + 1 = a$$

整理すると、

$$b = a + 2$$

$$b + a + 1 = a$$

2つ目の式から、$b = -1$ となる。

これを1つ目の式に代入すると、$-1 = a + 2$ より $a = -3$ となる。

3. 最終的な答え

$a = -3, b = -1$