$x^3 = 1$ を満たす虚数の1つを $\omega$ とする。$n$ が自然数 $m$ を用いて $n = 3m$, $n = 3m+1$, $n = 3m+2$ のいずれかで表されるとき、$\omega^{2n} + \omega^n + 1$ の値をそれぞれのケースで求めよ。

1. 問題の内容

$x^3 = 1$ を満たす虚数の1つを $\omega$ とする。$n$ が自然数 $m$ を用いて $n = 3m$, $n = 3m+1$, $n = 3m+2$ のいずれかで表されるとき、$\omega^{2n} + \omega^n + 1$ の値をそれぞれのケースで求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 = 1$ の解は $x = 1, \omega, \omega^2$ であり、$\omega$ は虚数解なので $\omega \neq 1$。また、$\omega^3 = 1$ が成り立つ。さらに、$1 + \omega + \omega^2 = 0$ が成立する。

次に、$n$ が $3m$, $3m+1$, $3m+2$ の場合に分けて $\omega^{2n} + \omega^n + 1$ の値を計算する。

* $n = 3m$ の場合:

$$\omega^{2n} + \omega^n + 1 = \omega^{6m} + \omega^{3m} + 1 = (\omega^3)^{2m} + (\omega^3)^m + 1 = 1^{2m} + 1^m + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$$

* $n = 3m + 1$ の場合:

$$\omega^{2n} + \omega^n + 1 = \omega^{2(3m+1)} + \omega^{3m+1} + 1 = \omega^{6m+2} + \omega^{3m+1} + 1 = \omega^{6m} \omega^2 + \omega^{3m} \omega + 1 = (\omega^3)^{2m} \omega^2 + (\omega^3)^m \omega + 1 = 1^{2m} \omega^2 + 1^m \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$$

* $n = 3m + 2$ の場合:

$$\omega^{2n} + \omega^n + 1 = \omega^{2(3m+2)} + \omega^{3m+2} + 1 = \omega^{6m+4} + \omega^{3m+2} + 1 = \omega^{6m} \omega^4 + \omega^{3m} \omega^2 + 1 = (\omega^3)^{2m} \omega^4 + (\omega^3)^m \omega^2 + 1 = 1^{2m} \omega^4 + 1^m \omega^2 + 1 = \omega^4 + \omega^2 + 1 = \omega^3 \omega + \omega^2 + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$$

3. 最終的な答え

$n = 3m$ のとき、$\omega^{2n} + \omega^n + 1 = 3$

$n = 3m+1$ のとき、$\omega^{2n} + \omega^n + 1 = 0$

$n = 3m+2$ のとき、$\omega^{2n} + \omega^n + 1 = 0$