問題は、次の2つの式を展開することです。 (1) $(a+b+c)^2$ (2) $(x+1)^2(x-1)^2$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの式を展開することです。

(1) $(a+b+c)^2$

(2) $(x+1)^2(x-1)^2$

2. 解き方の手順

(1) $(a+b+c)^2$ の展開：

まず、$(a+b+c)^2$ を $(a+b+c)(a+b+c)$ と考えます。

これを展開すると、

$(a+b+c)(a+b+c) = a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c)$

$= a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2$

$= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(2) $(x+1)^2(x-1)^2$ の展開：

まず、$(x+1)^2$ と $(x-1)^2$ をそれぞれ展開します。

$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1) = (x^2 + 1 + 2x)(x^2 + 1 - 2x)$

ここで、$A = x^2 + 1$ とおくと、

$(A + 2x)(A - 2x) = A^2 - (2x)^2 = A^2 - 4x^2$

$A^2 = (x^2 + 1)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(1) + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

したがって、

$A^2 - 4x^2 = x^4 + 2x^2 + 1 - 4x^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

別解：

$(x+1)^2(x-1)^2 = [(x+1)(x-1)]^2 = (x^2 - 1)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(1) + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(2) $x^4 - 2x^2 + 1$