$A$ を $n$ 次正方行列とする。$P^{-1}AP = I + A$ となるような $n$ 次正則行列 $P$ は存在しないことを示す。ここで、$I$ は $n$ 次の単位行列である。

1. 問題の内容

$A$ を $n$ 次正方行列とする。$P^{-1}AP = I + A$ となるような $n$ 次正則行列 $P$ は存在しないことを示す。ここで、$I$ は $n$ 次の単位行列である。

2. 解き方の手順

問題文のヒントにあるように、トレース（対角成分の和）を利用する。

まず、もし $P^{-1}AP = I + A$ が成り立つような正則行列 $P$ が存在すると仮定する。

行列のトレースの性質として、任意の行列 $X, Y$ に対して、$\mathrm{tr}(XY) = \mathrm{tr}(YX)$ が成り立つ。

これを利用すると、$\mathrm{tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{tr}(APP^{-1}) = \mathrm{tr}(A)$ となる。

一方、$P^{-1}AP = I + A$ の両辺のトレースを取ると、

$\mathrm{tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{tr}(I + A)$

トレースの線形性より、$\mathrm{tr}(I + A) = \mathrm{tr}(I) + \mathrm{tr}(A)$ となる。

$I$ は $n$ 次の単位行列なので、$\mathrm{tr}(I) = n$ である。

したがって、

$\mathrm{tr}(P^{-1}AP) = n + \mathrm{tr}(A)$

$\mathrm{tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{tr}(A)$ であったから、

$\mathrm{tr}(A) = n + \mathrm{tr}(A)$

両辺から $\mathrm{tr}(A)$ を引くと、

$0 = n$

これは、$n$ が正の整数であることに矛盾する。したがって、$P^{-1}AP = I + A$ となるような $n$ 次正則行列 $P$ は存在しない。

3. 最終的な答え

$P^{-1}AP = I + A$ となるような $n$ 次正則行列 $P$ は存在しない。