(1) $(x^2 + 1)^2$ を展開する。 (2) (1)の結果を利用して、$x^4 + x^2 + 1$ を因数分解する。

1. 問題の内容

(1) $(x^2 + 1)^2$ を展開する。

(2) (1)の結果を利用して、$x^4 + x^2 + 1$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) $(x^2 + 1)^2$ を展開する。二項の平方の公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を用いる。

$a = x^2$, $b = 1$ とすると、

$(x^2 + 1)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(1) + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

(2) (1)の結果 $x^4 + 2x^2 + 1$ を利用して、$x^4 + x^2 + 1$ を因数分解する。

$x^4 + x^2 + 1$ に $x^2$ を足して引き、$x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$ と変形する。

すると、これは $(x^2 + 1)^2 - x^2$ となる。

ここで、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の因数分解の公式を用いる。

$A = x^2 + 1$, $B = x$ とすると、

$(x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x) = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 + 2x^2 + 1$

(2) $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$