式 $(x+y+2z)(2x+3y-z)(4x-y-3z)$ を展開したときの $xyz$ の項の係数を求める。

1. 問題の内容

式 $(x+y+2z)(2x+3y-z)(4x-y-3z)$ を展開したときの $xyz$ の項の係数を求める。

2. 解き方の手順

$xyz$ の項は、各括弧からそれぞれ $x, y, z$ を一つずつ選び、それらを掛け合わせることで得られる。

それぞれの括弧からどの文字を選ぶかで場合分けをする。

(1) $(x)(3y)(-3z) = -9xyz$

(2) $(x)(-z)(-y) = xyz$

(3) $(y)(2x)(-3z) = -6xyz$

(4) $(y)(-z)(4x) = -4xyz$

(5) $(2z)(2x)(-y) = -4xyz$

(6) $(2z)(3y)(4x) = 24xyz$

これらの係数を全て足し合わせる。

$-9 + 1 -6 -4 -4 + 24 = -9 -6 -4 -4 + 1 + 24 = -23 + 25 = 2$

3. 最終的な答え

$2$