3次方程式 $x^3 - 4x^2 + 4x + k = 0$ が異なる3つの実数解を持つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 4x^2 + 4x + k = 0$ が異なる3つの実数解を持つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形する。

$x^3 - 4x^2 + 4x = -k$

左辺を $f(x)$ とおくと、$f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$ となる。

$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = -k$ が異なる3点で交わるような $k$ の範囲を求める。

$f(x)$ の増減を調べるために、微分する。

$f'(x) = 3x^2 - 8x + 4$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 8x + 4 = 0$

$(3x - 2)(x - 2) = 0$

$x = \frac{2}{3}, 2$

$x = \frac{2}{3}$ のとき、$f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 4(\frac{2}{3})^2 + 4(\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{16}{9} + \frac{8}{3} = \frac{8 - 48 + 72}{27} = \frac{32}{27}$

$x = 2$ のとき、$f(2) = 2^3 - 4(2^2) + 4(2) = 8 - 16 + 8 = 0$

$f(x)$ は $x = \frac{2}{3}$ で極大値をとり、$f(\frac{2}{3}) = \frac{32}{27}$ である。

$f(x)$ は $x = 2$ で極小値をとり、$f(2) = 0$ である。

$y = f(x)$ のグラフと $y = -k$ が異なる3点で交わるためには、$0 < -k < \frac{32}{27}$ でなければならない。

したがって、$-\frac{32}{27} < k < 0$ となる。

3. 最終的な答え

$-\frac{32}{27} < k < 0$