2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられたとき、次の値の符号を判定する。 (1) $a$ (2) $b$ (3) $c$ (4) $a + b + c$ (5) $4a + 2b + c$ (6) $a - b + c$ (7) $a + b + 1$

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられたとき、次の値の符号を判定する。

(1) $a$

(2) $b$

(3) $c$

(4) $a + b + c$

(5) $4a + 2b + c$

(6) $a - b + c$

(7) $a + b + 1$

2. 解き方の手順

与えられたグラフから以下の情報を読み取る。

* グラフは上に凸である。

* グラフと $y$ 軸との交点の $y$ 座標は正である。

* グラフと $x$ 軸との交点の $x$ 座標は $-\frac{1}{2}$ と $2$ である。

* 頂点の $x$ 座標は 1 である。

(1) $a$ の符号：グラフが上に凸なので、$a < 0$。

(2) $b$ の符号：頂点の $x$ 座標は $-\frac{b}{2a}$ である。頂点の $x$ 座標は1なので、$-\frac{b}{2a} = 1$。よって、$b = -2a$。$a < 0$ より、$b > 0$。

(3) $c$ の符号：グラフと $y$ 軸との交点の $y$ 座標は $c$ である。グラフより、$c > 0$。

(4) $a + b + c$ の符号：$x = 1$ のとき、$y = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$。グラフより、$x = 1$ のとき、$y > 0$。よって、$a + b + c > 0$。

(5) $4a + 2b + c$ の符号：$x = 2$ のとき、$y = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c$。グラフより、$x = 2$ のとき、$y = 0$。よって、$4a + 2b + c = 0$。

(6) $a - b + c$ の符号：$x = -1$ のとき、$y = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$。グラフより、$x = -1$ のとき、$y < 0$。よって、$a - b + c < 0$。

(7) $a + b + 1$ の符号：$a + b + c > 0$ より、$a + b > -c$。グラフより、$y$切片は1より小さいので、$c < 1$。よって、$-c > -1$。したがって、$a + b > -c > -1$ となり、$a + b + 1 > 0$。

3. 最終的な答え

(1) $a < 0$ （負）

(2) $b > 0$ （正）

(3) $c > 0$ （正）

(4) $a + b + c > 0$ （正）

(5) $4a + 2b + c = 0$ （ゼロ）

(6) $a - b + c < 0$ （負）

(7) $a + b + 1 > 0$ （正）