aは正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ ($0 \le x \le a$)の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

aは正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ ($0 \le x \le a$)の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 2x + 1 = -(x^2 - 2x) + 1 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = -(x-1)^2 + 1 + 1 = -(x-1)^2 + 2$

このグラフは上に凸の放物線で、軸は $x = 1$ です。定義域 $0 \le x \le a$ における最大値を求めるには、軸 $x=1$ が定義域に含まれるかどうかで場合分けをします。

(1) $0 < a < 1$ のとき

定義域は軸よりも左側にあるため、$x=0$ で最大値をとります。

$y = -(0-1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

このとき、最大値は1です。

(2) $a = 1$ のとき

$x = 0$ と $x = a = 1$ で $y$ の値は等しくなります。

$y = -(0-1)^2 + 2 = 1$

$y = -(1-1)^2 + 2 = 2$

このとき、$x = 1$ で最大値2をとります。

(3) $1 < a$ のとき

定義域は軸を含んでいるため、$x=1$ で最大値をとります。

$y = -(1-1)^2 + 2 = 2$

このとき、最大値は2です。

したがって、まとめると以下のようになります。

- $0 < a < 1$ のとき、$x = 0$ で最大値1をとる。

- $1 \le a$ のとき、$x = 1$ で最大値2をとる。

3. 最終的な答え

- $0 < a < 1$ のとき、最大値1

- $1 \le a$ のとき、最大値2