$x = -1 + \sqrt{2}i$ のとき、以下の2つの問題に答える。 (1) $x^2 + 2x + 3 = 0$ であることを示す。 (2) (1)の結果を用いて、$x^3 + 6x^2 + 8x + 7$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x = -1 + \sqrt{2}i$ のとき、以下の2つの問題に答える。

(1) $x^2 + 2x + 3 = 0$ であることを示す。

(2) (1)の結果を用いて、$x^3 + 6x^2 + 8x + 7$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x = -1 + \sqrt{2}i$ を $x^2 + 2x + 3$ に代入して計算する。

$x^2 + 2x + 3 = (-1 + \sqrt{2}i)^2 + 2(-1 + \sqrt{2}i) + 3$

$= (1 - 2\sqrt{2}i - 2) - 2 + 2\sqrt{2}i + 3$

$= -1 - 2\sqrt{2}i - 2 + 2\sqrt{2}i + 3$

$= (-1 - 2 + 3) + (-2\sqrt{2}i + 2\sqrt{2}i)$

$= 0$

したがって、$x^2 + 2x + 3 = 0$ である。

(2) $x^3 + 6x^2 + 8x + 7$ を $x^2 + 2x + 3$ で割ることを考える。

$x^3 + 6x^2 + 8x + 7 = (x^2 + 2x + 3)(x + 4) - 4x - 5$

(筆算または組み立て除法で計算する)

$x^2 + 2x + 3 = 0$ より、$(x^2 + 2x + 3)(x+4) = 0$ である。

したがって、$x^3 + 6x^2 + 8x + 7 = -4x - 5$

$x = -1 + \sqrt{2}i$ より

$-4x - 5 = -4(-1 + \sqrt{2}i) - 5$

$= 4 - 4\sqrt{2}i - 5$

$= -1 - 4\sqrt{2}i$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 2x + 3 = 0$ である。

(2) $x^3 + 6x^2 + 8x + 7 = -1 - 4\sqrt{2}i$