2つの二次方程式 $x^2 - 2ax + 6a = 0$ と $x^2 - 2(a-1)x + 3a = 0$ が、0でない共通解を持つとき、$a$ の値と、その共通解、それぞれの二次方程式の他の解を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの二次方程式 $x^2 - 2ax + 6a = 0$ と $x^2 - 2(a-1)x + 3a = 0$ が、0でない共通解を持つとき、$a$ の値と、その共通解、それぞれの二次方程式の他の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

共通解を $\alpha$ とすると、以下の式が成り立ちます。

$\alpha^2 - 2a\alpha + 6a = 0$ (1)

$\alpha^2 - 2(a-1)\alpha + 3a = 0$ (2)

(1) - (2)より、

$-2a\alpha + 6a + 2(a-1)\alpha - 3a = 0$

$-2a\alpha + 6a + 2a\alpha - 2\alpha - 3a = 0$

$3a - 2\alpha = 0$

したがって、$\alpha = \frac{3}{2}a$

これを(1)に代入すると、

$(\frac{3}{2}a)^2 - 2a(\frac{3}{2}a) + 6a = 0$

$\frac{9}{4}a^2 - 3a^2 + 6a = 0$

$9a^2 - 12a^2 + 24a = 0$

$-3a^2 + 24a = 0$

$-3a(a - 8) = 0$

$a=0$ または $a=8$

$\alpha \neq 0$なので、$a \neq 0$。したがって、$a=8$。

このとき、共通解 $\alpha = \frac{3}{2} \times 8 = 12$

方程式(1)は $x^2 - 16x + 48 = 0$ となり、

$(x - 12)(x - 4) = 0$なので、もう一つの解は $x = 4$。

方程式(2)は $x^2 - 14x + 24 = 0$ となり、

$(x - 12)(x - 2) = 0$なので、もう一つの解は $x = 2$。

3. 最終的な答え

$a = 8$

共通解: $12$

方程式(1)の他の解: $4$

方程式(2)の他の解: $2$