与えられた方程式 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-120=0$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-120=0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ の積を展開しやすいように並び替える。

$(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)-120=0$

次に、$(x-1)(x-4)$ と $(x-2)(x-3)$ をそれぞれ展開する。

$(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) - 120 = 0$

ここで、$x^2 - 5x = A$ と置換する。

$(A+4)(A+6) - 120 = 0$

展開して整理する。

$A^2 + 10A + 24 - 120 = 0$

$A^2 + 10A - 96 = 0$

この二次方程式を因数分解する。

$(A+16)(A-6) = 0$

よって、$A = -16$ または $A = 6$ である。

$A = x^2 - 5x$ を代入して、$x$ について解く。

(i) $A = -16$ のとき

$x^2 - 5x = -16$

$x^2 - 5x + 16 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(16)}}{2(1)}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 64}}{2}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{-39}}{2}$

$x = \frac{5 \pm i\sqrt{39}}{2}$

(ii) $A = 6$ のとき

$x^2 - 5x = 6$

$x^2 - 5x - 6 = 0$

因数分解すると、

$(x-6)(x+1) = 0$

よって、$x = 6$ または $x = -1$

3. 最終的な答え

$x = 6, -1, \frac{5 + i\sqrt{39}}{2}, \frac{5 - i\sqrt{39}}{2}$