(1) 複素数平面上の2点 $A(1-i)$ と $B(4+3i)$ を結ぶ線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点と外分する点を表す複素数を求める。 (2) 複素数平面上の3点 $A(-1+4i)$, $B(3+2i)$, $C(4-3i)$ を頂点とする $\triangle ABC$ の重心を表す複素数を求める。

1. 問題の内容

(1) 複素数平面上の2点 $A(1-i)$ と $B(4+3i)$ を結ぶ線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点と外分する点を表す複素数を求める。

(2) 複素数平面上の3点 $A(-1+4i)$, $B(3+2i)$, $C(4-3i)$ を頂点とする $\triangle ABC$ の重心を表す複素数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点の複素数 $z$ は、

$z = \frac{n\alpha + m\beta}{m+n}$

で表される。ここで、$A(\alpha)$, $B(\beta)$ である。

線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点の複素数 $z$ は、

$z = \frac{-n\alpha + m\beta}{m-n}$

で表される。

内分点の場合、 $m=2$, $n=1$, $\alpha = 1-i$, $\beta = 4+3i$ を代入して、

$z = \frac{1(1-i) + 2(4+3i)}{2+1} = \frac{1-i+8+6i}{3} = \frac{9+5i}{3} = 3 + \frac{5}{3}i$

外分点の場合、 $m=2$, $n=1$, $\alpha = 1-i$, $\beta = 4+3i$ を代入して、

$z = \frac{-1(1-i) + 2(4+3i)}{2-1} = \frac{-1+i+8+6i}{1} = 7+7i$

(2) 3点 $A(\alpha)$, $B(\beta)$, $C(\gamma)$ を頂点とする $\triangle ABC$ の重心を表す複素数 $z$ は、

$z = \frac{\alpha + \beta + \gamma}{3}$

で表される。

$\alpha = -1+4i$, $\beta = 3+2i$, $\gamma = 4-3i$ を代入して、

$z = \frac{(-1+4i) + (3+2i) + (4-3i)}{3} = \frac{-1+3+4 + (4+2-3)i}{3} = \frac{6+3i}{3} = 2+i$

3. 最終的な答え

(1) 内分点: $3 + \frac{5}{3}i$, 外分点: $7+7i$

(2) 重心: $2+i$