$\log_{10}2 = a$、$\log_{10}3 = b$とするとき、$\log_{24}75$の値を$a$、$b$で表せ。

1. 問題の内容

$\log_{10}2 = a$、$\log_{10}3 = b$とするとき、$\log_{24}75$の値を$a$、$b$で表せ。

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式を使って、$\log_{24}75$の底を10に変換します。

$\log_{24}75 = \frac{\log_{10}75}{\log_{10}24}$

次に、75と24を素因数分解します。

$75 = 3 \times 5^2$

$24 = 2^3 \times 3$

よって、

$\log_{10}75 = \log_{10}(3 \times 5^2) = \log_{10}3 + 2\log_{10}5$

$\log_{10}24 = \log_{10}(2^3 \times 3) = 3\log_{10}2 + \log_{10}3$

$\log_{10}5$は$\log_{10}5 = \log_{10}(\frac{10}{2}) = \log_{10}10 - \log_{10}2 = 1 - \log_{10}2 = 1-a$と変形できます。

これらを代入して、

$\log_{10}75 = \log_{10}3 + 2(1 - a) = b + 2(1 - a) = b + 2 - 2a$

$\log_{10}24 = 3\log_{10}2 + \log_{10}3 = 3a + b$

したがって、

$\log_{24}75 = \frac{\log_{10}75}{\log_{10}24} = \frac{b + 2 - 2a}{3a + b} = \frac{2 - 2a + b}{3a + b}$

3. 最終的な答え

$\frac{2 - 2a + b}{3a + b}$