与えられた等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を利用します。

初項を $a$、公比を $r$ とすると、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$r \neq 1$ のとき

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$r = 1$ のとき

$S_n = na$

で表されます。

(1) 初項 $a=1$, 公比 $r=5$ の等比数列です。

$r \neq 1$ なので、

$S_n = \frac{1(1-5^n)}{1-5} = \frac{1-5^n}{-4} = \frac{5^n-1}{4}$

(2) 初項 $a = \frac{1}{3}$, 公比 $r = \frac{1}{3}$ の等比数列です。

$r \neq 1$ なので、

$S_n = \frac{\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{3})^n)}{1-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}(1-\frac{1}{3^n})}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} (1-\frac{1}{3^n}) = \frac{1}{2} (1-\frac{1}{3^n}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^n} = \frac{3^n - 1}{2 \cdot 3^n}$

(3) 初項 $a = 6$, 公比 $r = -2$ の等比数列です。

$r \neq 1$ なので、

$S_n = \frac{6(1-(-2)^n)}{1-(-2)} = \frac{6(1-(-2)^n)}{3} = 2(1-(-2)^n) = 2+2(-1)^{n+1}2^{n}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5^n - 1}{4}$

(2) $\frac{3^n - 1}{2 \cdot 3^n}$

(3) $2(1 - (-2)^n)$