(1) $\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ であるとき、次の値を小数第4位まで求めよ。 1. $\log_{10} \frac{4}{9}$ 2. $\log_{10} \sqrt{15}$ 3. $\log_2 3$ 4. $\log_5 \sqrt[3]{8}$ (2) $20^{20}$ は何桁の数であるか。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。

1. 問題の内容

(1) $\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ であるとき、次の値を小数第4位まで求めよ。

1. $\log_{10} \frac{4}{9}$

2. $\log_{10} \sqrt{15}$

3. $\log_2 3$

4. $\log_5 \sqrt[3]{8}$

(2) $20^{20}$ は何桁の数であるか。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

1. $\log_{10} \frac{4}{9} = \log_{10} 4 - \log_{10} 9 = \log_{10} 2^2 - \log_{10} 3^2 = 2 \log_{10} 2 - 2 \log_{10} 3 = 2(0.3010) - 2(0.4771) = 0.6020 - 0.9542 = -0.3522$

2. $\log_{10} \sqrt{15} = \log_{10} (15)^{1/2} = \frac{1}{2} \log_{10} (3 \times 5) = \frac{1}{2} (\log_{10} 3 + \log_{10} 5)$. ここで、$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$.

したがって、$\log_{10} \sqrt{15} = \frac{1}{2} (0.4771 + 0.6990) = \frac{1}{2} (1.1761) = 0.58805 \approx 0.5881$

3. $\log_2 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 2} = \frac{0.4771}{0.3010} \approx 1.5850$

4. $\log_5 \sqrt[3]{8} = \log_5 2^{3/3} = \log_5 2 = \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 5} = \frac{0.3010}{0.6990} \approx 0.4306$

(2)

$20^{20}$ が何桁の数かを求める。$N = 20^{20}$ とおくと、$\log_{10} N = \log_{10} 20^{20} = 20 \log_{10} 20 = 20 \log_{10} (2 \times 10) = 20 (\log_{10} 2 + \log_{10} 10) = 20 (0.3010 + 1) = 20(1.3010) = 26.02$.

$\log_{10} N = 26.02$ より、$N = 10^{26.02} = 10^{26} \times 10^{0.02}$. $10^{0.02}$ は1と10の間にある数なので、$N$ は 27桁の数である。

3. 最終的な答え

(1)

1. -0.3522

2. 0.5881

3. 1.5850

4. 0.4306

(2) 27桁