整式 $P(x) = (x-b)(x^2 - ax + b + 3) + (b-a)(b+3)$ が与えられています。ここで、$a$ と $b$ は実数の定数です。 (1) $P(a)$ の値を求めます。 (2) $P(x)$ を因数分解します。 (3) 3次方程式 $P(x) = 0$ の3つの解の和が $-3$ であるとき、$b$ を $a$ を用いて表します。また、このとき、3次方程式 $P(x) = 0$ が異なる解をちょうど2個もつような $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

整式 $P(x) = (x-b)(x^2 - ax + b + 3) + (b-a)(b+3)$ が与えられています。ここで、$a$ と $b$ は実数の定数です。

(1) $P(a)$ の値を求めます。

(2) $P(x)$ を因数分解します。

(3) 3次方程式 $P(x) = 0$ の3つの解の和が $-3$ であるとき、$b$ を $a$ を用いて表します。また、このとき、3次方程式 $P(x) = 0$ が異なる解をちょうど2個もつような $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $P(a)$ を求める

$P(x)$ に $x = a$ を代入します。

$P(a) = (a-b)(a^2 - a^2 + b + 3) + (b-a)(b+3) = (a-b)(b+3) + (b-a)(b+3) = (a-b)(b+3) - (a-b)(b+3) = 0$

(2) $P(x)$ を因数分解する

まず、$P(x)$ を展開します。

$P(x) = (x-b)(x^2 - ax + b + 3) + (b-a)(b+3) = x^3 - ax^2 + (b+3)x - bx^2 + abx - b(b+3) + (b-a)(b+3) = x^3 - (a+b)x^2 + (ab+b+3)x - b(b+3) + b(b+3) - a(b+3) = x^3 - (a+b)x^2 + (ab+b+3)x - a(b+3) = x^3 - (a+b)x^2 + (ab+b+3)x - ab - 3a$

$P(a) = 0$ より、$P(x)$ は $(x-a)$ を因数に持ちます。組み立て除法を用いて $P(x)$ を $(x-a)$ で割ります。

$x^3 - (a+b)x^2 + (ab+b+3)x - a(b+3) = (x-a)[x^2 - bx + (b+3)]$.

したがって、$P(x) = (x-a)(x^2-bx+b+3)$

(3) 3次方程式 $P(x) = 0$ の解の和が $-3$ のとき

$P(x) = 0$ より、解は $x=a$ と $x^2 - bx + b + 3 = 0$ の解です。

$x^2 - bx + b + 3 = 0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係より $\alpha + \beta = b$ です。

3つの解の和は $a + \alpha + \beta = a + b = -3$

したがって、$b = -a - 3$

次に、異なる解をちょうど2個もつときを考えます。

$x^2 - bx + b + 3 = 0$ に $x=a$ を代入すると $a^2 - ba + b + 3 = 0$

$b = -a - 3$ を代入すると

$a^2 - (-a-3)a + (-a-3) + 3 = 0$

$a^2 + a^2 + 3a - a = 0$

$2a^2 + 2a = 0$

$2a(a+1) = 0$

$a = 0, -1$

$a = 0$ のとき、$b = -3$ なので、 $x^2 + 3x = 0$ つまり $x(x+3) = 0$ より $x = 0, -3$. よって解は $0, 0, -3$ となり、異なる解は2つ。

$a = -1$ のとき、$b = -2$ なので、 $x^2 + 2x + 1 = 0$ つまり $(x+1)^2 = 0$ より $x = -1, -1$. よって解は $-1, -1, -1$ となり、異なる解は1つ。

$x^2-bx+b+3=0$ が重解を持つとき、$D=b^2-4(b+3)=0$。

$b^2-4b-12=0$

$(b-6)(b+2)=0$

$b=6, -2$.

$b=6$のとき、$a=-9$, $x^2-6x+9 = 0$, $(x-3)^2 = 0$, $x = 3, 3$. よって解は $-9, 3, 3$ となり、異なる解は2つ。

$b=-2$のとき、$a=-1$, $x^2+2x+1=0$, $(x+1)^2 = 0$, $x = -1, -1$. よって解は $-1, -1, -1$ となり、異なる解は1つ。

よって、$a=0$と$a=-9$

3. 最終的な答え

(1) $P(a) = 0$

(2) $P(x) = (x-a)(x^2 - bx + b + 3)$

(3) $b = -a - 3$。$a = 0, -9$