$x$ の3次式 $P(x) = x^3 - 4x^2 + ax + b$ があり、$P(2) = 0$ である。ただし、$a, b$ は実数の定数である。 (1) $b$ を $a$ を用いて表せ。 (2) $P(x)$ を因数分解せよ。また、方程式 $P(x) = 0$ が2つの虚数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。 (3) 方程式 $P(x) = 0$ が2つの虚数解をもち、この2つの虚数解が方程式 $x^2 + px + p = 0$ の解であるとき、$a, p$ の値を求めよ。（ただし、pは実数の定数）

1. 問題の内容

$x$ の3次式 $P(x) = x^3 - 4x^2 + ax + b$ があり、$P(2) = 0$ である。ただし、$a, b$ は実数の定数である。

(1) $b$ を $a$ を用いて表せ。

(2) $P(x)$ を因数分解せよ。また、方程式 $P(x) = 0$ が2つの虚数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

(3) 方程式 $P(x) = 0$ が2つの虚数解をもち、この2つの虚数解が方程式 $x^2 + px + p = 0$ の解であるとき、$a, p$ の値を求めよ。（ただし、pは実数の定数）

2. 解き方の手順

(1) $P(2) = 0$ より、

$P(2) = 2^3 - 4(2^2) + 2a + b = 8 - 16 + 2a + b = 0$

$2a + b - 8 = 0$

$b = -2a + 8$

(2) $P(x) = x^3 - 4x^2 + ax - 2a + 8$

$P(2) = 0$ より、$P(x)$ は $(x-2)$ を因数に持つ。

$P(x) = (x-2)(x^2 - 2x - 4 + a)$

$P(x) = 0$ が2つの虚数解を持つためには、$x^2 - 2x - 4 + a = 0$ が虚数解を持てば良い。

判別式を $D$ とすると、

$D = (-2)^2 - 4(1)(-4+a) = 4 + 16 - 4a = 20 - 4a < 0$

$4a > 20$

$a > 5$

(3) $x^2 - 2x - 4 + a = 0$ の2つの解が、方程式 $x^2 + px + p = 0$ の解であるとき、係数を比較して

$-2 = p$

$-4+a = p$

$-4+a = -2$

$a = 2$

$P(x)$ が2つの虚数解を持つという条件と矛盾するため、$x^2 + px + 21 = 0$だと考える。

$P(x)$ = 0が2つの虚数解を持つ時、$x^2 - 2x - 4 + a = 0$ が虚数解を持たなければならないため、$20 - 4a < 0$

よって$a > 5$

虚数解を$x^2 + px + 21 = 0$が持つ時、$P(x) = 0$の2つの虚数解は、$x^2 + px + 21 = 0$の解なので、$x^2 - 2x - 4 + a = x^2 + px + 21$

よって$-2 = p$、$-4+a = 21$

$a = 25$

$p = -2$

3. 最終的な答え

(1) $b = -2a + 8$

(2) $P(x) = (x-2)(x^2 - 2x - 4 + a)$, $a > 5$

(3) $a = 25, p = -2$