与えられた対数の値を計算する問題です。具体的には、 (1) $\log_5 625$ (2) $\log_2 32$ (3) $\log_2 64$ (4) $\log_3 \sqrt[3]{27}$ (5) $\log_3 \sqrt{27}$ (6) $\log_5 \sqrt[5]{125}$ (7) $\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}}$ (8) $\log_{10} 0.001$ の値を求めます。

## 907 次の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた対数の値を計算する問題です。具体的には、

(1) $\log_5 625$

(2) $\log_2 32$

(3) $\log_2 64$

(4) $\log_3 \sqrt[3]{27}$

(5) $\log_3 \sqrt{27}$

(6) $\log_5 \sqrt[5]{125}$

(7) $\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}}$

(8) $\log_{10} 0.001$

の値を求めます。

2. 解き方の手順

対数の定義 $y = \log_a x \Leftrightarrow x = a^y$ を利用して各値を求めます。

(1) $\log_5 625 = \log_5 5^4 = 4$

(2) $\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$

(3) $\log_2 64 = \log_2 2^6 = 6$

(4) $\log_3 \sqrt[3]{27} = \log_3 (3^3)^{\frac{1}{3}} = \log_3 3 = 1$

(5) $\log_3 \sqrt{27} = \log_3 (3^3)^{\frac{1}{2}} = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$

(6) $\log_5 \sqrt[5]{125} = \log_5 (5^3)^{\frac{1}{5}} = \log_5 5^{\frac{3}{5}} = \frac{3}{5}$

(7) $\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = \log_2 2^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}$

(8) $\log_{10} 0.001 = \log_{10} 10^{-3} = -3$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 5

(3) 6

(4) 1

(5) $\frac{3}{2}$

(6) $\frac{3}{5}$

(7) $-\frac{1}{2}$

(8) -3

## 908 次の式を簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた対数の式を簡単にします。具体的には、

(1) $\log_{10} 2 + \log_{10} 5$

(2) $\log_{10} 4 + 2\log_{10} 5$

(3) $\log_3 \frac{1}{9} + \log_2 \frac{1}{8}$

を簡単にします。

2. 解き方の手順

対数の性質（$\log_a x + \log_a y = \log_a xy$, $n\log_a x = \log_a x^n$）を利用して計算します。

(1) $\log_{10} 2 + \log_{10} 5 = \log_{10} (2 \times 5) = \log_{10} 10 = 1$

(2) $\log_{10} 4 + 2\log_{10} 5 = \log_{10} 4 + \log_{10} 5^2 = \log_{10} 4 + \log_{10} 25 = \log_{10} (4 \times 25) = \log_{10} 100 = \log_{10} 10^2 = 2$

(3) $\log_3 \frac{1}{9} + \log_2 \frac{1}{8} = \log_3 3^{-2} + \log_2 2^{-3} = -2 - 3 = -5$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 2

(3) -5

## 909 次の式を簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた対数の式を簡単にします。具体的には、

(1) $\log_2 \frac{2}{3} + 2\log_4 \frac{3}{2}$

(2) $\log_3 5 \times \log_5 7 \times \log_7 3$

(3) $\log_8 2 \times (\log_3 2 + \log_3 \frac{3}{2})$

を簡単にします。

2. 解き方の手順

対数の性質（$\log_a x + \log_a y = \log_a xy$, $n\log_a x = \log_a x^n$, $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$, $\log_a a = 1$）を利用して計算します。

(1) $\log_2 \frac{2}{3} + 2\log_4 \frac{3}{2} = \log_2 \frac{2}{3} + 2\frac{\log_2 \frac{3}{2}}{\log_2 4} = \log_2 \frac{2}{3} + 2\frac{\log_2 \frac{3}{2}}{2} = \log_2 \frac{2}{3} + \log_2 \frac{3}{2} = \log_2 (\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}) = \log_2 1 = 0$

(2) $\log_3 5 \times \log_5 7 \times \log_7 3 = \frac{\log 5}{\log 3} \times \frac{\log 7}{\log 5} \times \frac{\log 3}{\log 7} = 1$

(3) $\log_8 2 \times (\log_3 2 + \log_3 \frac{3}{2}) = \log_{2^3} 2 \times \log_3 (2 \times \frac{3}{2}) = \frac{1}{3}\log_2 2 \times \log_3 3 = \frac{1}{3} \times 1 \times 1 = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 1

(3) $\frac{1}{3}$

## 910 次の方程式を解け。

1. 問題の内容

与えられた対数方程式を解く問題です。具体的には、

(1) $\log_5 (2x - 5) = 2$

(2) $(\log_2 x)^2 + 10\log_2 x = -25$

(3) $\log_2 x - 2 = \frac{3}{\log_2 x}$

を解きます。

2. 解き方の手順

(1) 対数の定義を用いて、$2x - 5$ の値を求め、x を求めます。

(2) $\log_2 x = t$ とおいて、二次方程式を解き、x を求めます。

(3) $\log_2 x = t$ とおいて、二次方程式を解き、x を求めます。

(1) $\log_5 (2x - 5) = 2 \Leftrightarrow 2x - 5 = 5^2 \Leftrightarrow 2x - 5 = 25 \Leftrightarrow 2x = 30 \Leftrightarrow x = 15$

$x = 15$ は $2x-5 > 0$ を満たすので解である。

(2) $(\log_2 x)^2 + 10\log_2 x = -25$

$t = \log_2 x$ とおくと、$t^2 + 10t = -25 \Leftrightarrow t^2 + 10t + 25 = 0 \Leftrightarrow (t+5)^2 = 0 \Leftrightarrow t = -5$

$\log_2 x = -5 \Leftrightarrow x = 2^{-5} = \frac{1}{32}$

(3) $\log_2 x - 2 = \frac{3}{\log_2 x}$

$t = \log_2 x$ とおくと、$t - 2 = \frac{3}{t} \Leftrightarrow t^2 - 2t = 3 \Leftrightarrow t^2 - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow (t-3)(t+1) = 0 \Leftrightarrow t = 3, -1$

$t = 3$ のとき $\log_2 x = 3 \Leftrightarrow x = 2^3 = 8$

$t = -1$ のとき $\log_2 x = -1 \Leftrightarrow x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 15$

(2) $x = \frac{1}{32}$

(3) $x = 8, \frac{1}{2}$