次の方程式を解く問題です。 (1) $\log_3(x^2 - 2x) = 1$ (2) $\log_2(2x^2 - 4x) = 4$ (3) $(\log_3 x)^2 + \log_3 x - 2 = 0$ (4) $(\log_2 x)^2 - 2\log_2 x = 3$ (5) $(\log_2 x)^2 + 4\log_2 x + 4 = 0$ (6) $3(\log_3 x)^2 - 15\log_3 x = -18$

1. 問題の内容

次の方程式を解く問題です。

(1) $\log_3(x^2 - 2x) = 1$

(2) $\log_2(2x^2 - 4x) = 4$

(3) $(\log_3 x)^2 + \log_3 x - 2 = 0$

(4) $(\log_2 x)^2 - 2\log_2 x = 3$

(5) $(\log_2 x)^2 + 4\log_2 x + 4 = 0$

(6) $3(\log_3 x)^2 - 15\log_3 x = -18$

2. 解き方の手順

(1) $\log_3(x^2 - 2x) = 1$

真数条件より $x^2 - 2x > 0$ すなわち $x(x-2) > 0$ ゆえに $x < 0$ または $x > 2$.

$\log_3(x^2 - 2x) = 1$ より $x^2 - 2x = 3^1 = 3$.

$x^2 - 2x - 3 = 0$ より $(x - 3)(x + 1) = 0$.

したがって $x = 3, -1$. これは真数条件を満たす。

(2) $\log_2(2x^2 - 4x) = 4$

真数条件より $2x^2 - 4x > 0$ すなわち $2x(x-2) > 0$ ゆえに $x < 0$ または $x > 2$.

$\log_2(2x^2 - 4x) = 4$ より $2x^2 - 4x = 2^4 = 16$.

$2x^2 - 4x - 16 = 0$ より $x^2 - 2x - 8 = 0$.

$(x - 4)(x + 2) = 0$ より $x = 4, -2$. これは真数条件を満たす。

(3) $(\log_3 x)^2 + \log_3 x - 2 = 0$

真数条件より $x > 0$.

$t = \log_3 x$ とおくと $t^2 + t - 2 = 0$.

$(t + 2)(t - 1) = 0$ より $t = -2, 1$.

$\log_3 x = -2$ より $x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

$\log_3 x = 1$ より $x = 3^1 = 3$.

これらは真数条件を満たす。

(4) $(\log_2 x)^2 - 2\log_2 x = 3$

真数条件より $x > 0$.

$t = \log_2 x$ とおくと $t^2 - 2t = 3$.

$t^2 - 2t - 3 = 0$ より $(t - 3)(t + 1) = 0$.

$t = 3, -1$.

$\log_2 x = 3$ より $x = 2^3 = 8$.

$\log_2 x = -1$ より $x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

これらは真数条件を満たす。

(5) $(\log_2 x)^2 + 4\log_2 x + 4 = 0$

真数条件より $x > 0$.

$t = \log_2 x$ とおくと $t^2 + 4t + 4 = 0$.

$(t + 2)^2 = 0$ より $t = -2$.

$\log_2 x = -2$ より $x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

これは真数条件を満たす。

(6) $3(\log_3 x)^2 - 15\log_3 x = -18$

真数条件より $x > 0$.

$t = \log_3 x$ とおくと $3t^2 - 15t = -18$.

$3t^2 - 15t + 18 = 0$ より $t^2 - 5t + 6 = 0$.

$(t - 2)(t - 3) = 0$ より $t = 2, 3$.

$\log_3 x = 2$ より $x = 3^2 = 9$.

$\log_3 x = 3$ より $x = 3^3 = 27$.

これらは真数条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $x = 3, -1$

(2) $x = 4, -2$

(3) $x = \frac{1}{9}, 3$

(4) $x = 8, \frac{1}{2}$

(5) $x = \frac{1}{4}$

(6) $x = 9, 27$