複素数平面上で、点 $\beta = 1+5i$ を点 $\alpha = 3+4i$ を中心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転した点を表す複素数 $\gamma$ を求める。

1. 問題の内容

複素数平面上で、点 $\beta = 1+5i$ を点 $\alpha = 3+4i$ を中心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転した点を表す複素数 $\gamma$ を求める。

2. 解き方の手順

点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転させた点を $\gamma$ とすると、

$\gamma - \alpha = (\beta - \alpha) \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right)$

と表せる。

まず、$\beta - \alpha$ を計算する。

$\beta - \alpha = (1+5i) - (3+4i) = -2 + i$

次に、$\cos \frac{\pi}{6}$ と $\sin \frac{\pi}{6}$ の値を求める。

$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

したがって、

$\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

$(\beta - \alpha) \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right)$ を計算する。

$(-2+i)\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = -2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) -2\left(\frac{1}{2}i\right) + i\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + i\left(\frac{1}{2}i\right)$

$= -\sqrt{3} - i + \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{1}{2}$

$= -\sqrt{3} - \frac{1}{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 1\right)i$

$= -\frac{1}{2} - \sqrt{3} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 1\right)i$

$\gamma - \alpha = -\frac{1}{2} - \sqrt{3} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 1\right)i$ より、

$\gamma = \alpha - \frac{1}{2} - \sqrt{3} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 1\right)i$

$= 3+4i - \frac{1}{2} - \sqrt{3} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 1\right)i$

$= \left(3 - \frac{1}{2} - \sqrt{3}\right) + \left(4 + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1\right)i$

$= \left(\frac{5}{2} - \sqrt{3}\right) + \left(3 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)i$

3. 最終的な答え

$\gamma = \frac{5}{2} - \sqrt{3} + \left(3 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)i$