2次関数 $y=ax^2+bx+c$ の係数 $a$, $b$, $c$ は互いに異なり、$-3$ 以上 $5$ 以下の整数である。この2次関数のグラフが原点を通り、かつ頂点が第1象限または第3象限にあるような $a$, $b$, $c$ の組の個数を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y=ax^2+bx+c$ の係数 $a$, $b$, $c$ は互いに異なり、$-3$ 以上 $5$ 以下の整数である。この2次関数のグラフが原点を通り、かつ頂点が第1象限または第3象限にあるような $a$, $b$, $c$ の組の個数を求める。

2. 解き方の手順

まず、グラフが原点を通る条件から $c=0$ である。

次に、頂点の座標を求める。$y=ax^2+bx$ を平方完成すると、

$$y = a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right) = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a}$$

したがって、頂点の座標は $\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2}{4a}\right)$ である。

頂点が第1象限または第3象限にあるための条件は、

$-\frac{b}{2a}$ と $-\frac{b^2}{4a}$ の符号が同じであることである。

これは、$\frac{b}{2a}$ と $\frac{b^2}{4a}$ の符号が同じであることと同値である。

さらに、$\frac{b}{2a}$ と $\frac{b^2}{4a}$ の符号が同じであるためには、

$\frac{b}{2a}>0$ かつ $\frac{b^2}{4a}>0$ または $\frac{b}{2a}<0$ かつ $\frac{b^2}{4a}<0$ が成り立つ必要がある。

$\frac{b^2}{4a}>0$ であるためには $a>0$ が必要であり、$\frac{b^2}{4a}<0$ であるためには $a<0$ が必要である。

よって、$\frac{b}{2a}$ と $\frac{b^2}{4a}$ の符号が同じであるためには $\frac{b}{2a}$ と $a$ の符号が同じである必要がある。

したがって、$b>0$ かつ $a>0$ または $b<0$ かつ $a<0$ である。

$a$, $b$, $c$ は互いに異なる整数であり、$-3 \le a, b, c \le 5$ であるから、$c=0$ より、$a$ と $b$ は $0$ ではない。

(i) $a>0$, $b>0$ のとき、$a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ であり、$a \neq b$ である。このとき、組 $(a,b)$ の個数は ${}_5P_2 = 5 \times 4 = 20$ 個である。

(ii) $a<0$, $b<0$ のとき、$a, b \in \{-1, -2, -3\}$ であり、$a \neq b$ である。このとき、組 $(a,b)$ の個数は ${}_3P_2 = 3 \times 2 = 6$ 個である。

したがって、条件を満たす $(a, b, c)$ の組の個数は $20 + 6 = 26$ 個である。

3. 最終的な答え

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