複素数 $\alpha = 3 + 4i$ と $\beta = 1 + 5i$ が与えられている。点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転した点を表す複素数 $\gamma$ を求める。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 3 + 4i$ と $\beta = 1 + 5i$ が与えられている。点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転した点を表す複素数 $\gamma$ を求める。

2. 解き方の手順

点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転させることは、複素数平面上で $\beta - \alpha$ を $\frac{\pi}{6}$ だけ回転させて、その結果に $\alpha$ を足すことに対応する。

まず、$\beta - \alpha$ を計算する。

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\beta - \alpha = (1 + 5i) - (3 + 4i) = -2 + i

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次に、$-2 + i$ を $\frac{\pi}{6}$ だけ回転させる。回転させる複素数は $e^{i \frac{\pi}{6}} = \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}$ である。

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(-2 + i) \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + i(-2) \cdot \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} + i^2 \frac{1}{2} = -\sqrt{3} - i + i \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = -\sqrt{3} - \frac{1}{2} + i \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right)

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したがって、回転後の複素数は $-\sqrt{3} - \frac{1}{2} + i \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right)$ となる。

最後に、回転後の複素数に $\alpha$ を足して $\gamma$ を求める。

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\gamma = \alpha + \left( -\sqrt{3} - \frac{1}{2} + i \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right) \right) = 3 + 4i - \sqrt{3} - \frac{1}{2} + i \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right) = \left( 3 - \sqrt{3} - \frac{1}{2} \right) + i \left( 4 + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right) = \left( \frac{5}{2} - \sqrt{3} \right) + i \left( 3 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)

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3. 最終的な答え

$\gamma = \frac{5}{2} - \sqrt{3} + i \left( 3 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$