与えられた連立一次方程式 $\begin{cases} x_1 - x_3 = 2 \\ 3x_1 + 3x_2 + x_3 + 2x_4 = 12 \\ 2x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 7 \end{cases}$ について、拡大係数行列に掃き出し法を適用して解が存在するかどうか調べ、解が存在するならばその解を求める。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$\begin{cases}

x_1 - x_3 = 2 \\

3x_1 + 3x_2 + x_3 + 2x_4 = 12 \\

2x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 7

\end{cases}$

について、拡大係数行列に掃き出し法を適用して解が存在するかどうか調べ、解が存在するならばその解を求める。

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式の拡大係数行列は

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 & | & 2 \\

3 & 3 & 1 & 2 & | & 12 \\

2 & 1 & -2 & 1 & | & 7

\end{pmatrix}$

である。

第2行から第1行の3倍を引く($R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$)、第3行から第1行の2倍を引く($R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1$)と、

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 & | & 2 \\

0 & 3 & 4 & 2 & | & 6 \\

0 & 1 & 0 & 1 & | & 3

\end{pmatrix}$

第2行と第3行を入れ替えると、

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 & | & 2 \\

0 & 1 & 0 & 1 & | & 3 \\

0 & 3 & 4 & 2 & | & 6

\end{pmatrix}$

第3行から第2行の3倍を引く($R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2$)と、

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 & | & 2 \\

0 & 1 & 0 & 1 & | & 3 \\

0 & 0 & 4 & -1 & | & -3

\end{pmatrix}$

第3行を4で割ると($R_3 \leftarrow \frac{1}{4}R_3$)、

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 & | & 2 \\

0 & 1 & 0 & 1 & | & 3 \\

0 & 0 & 1 & -\frac{1}{4} & | & -\frac{3}{4}

\end{pmatrix}$

第1行に第3行を足すと($R_1 \leftarrow R_1 + R_3$)、

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & -\frac{1}{4} & | & \frac{5}{4} \\

0 & 1 & 0 & 1 & | & 3 \\

0 & 0 & 1 & -\frac{1}{4} & | & -\frac{3}{4}

\end{pmatrix}$

したがって、

$\begin{cases}

x_1 - \frac{1}{4}x_4 = \frac{5}{4} \\

x_2 + x_4 = 3 \\

x_3 - \frac{1}{4}x_4 = -\frac{3}{4}

\end{cases}$

となる。

$x_4 = t$とおくと、

$x_1 = \frac{1}{4}t + \frac{5}{4}$, $x_2 = -t + 3$, $x_3 = \frac{1}{4}t - \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

解は

$\begin{cases}

x_1 = \frac{1}{4}t + \frac{5}{4} \\

x_2 = -t + 3 \\

x_3 = \frac{1}{4}t - \frac{3}{4} \\

x_4 = t

\end{cases}$

（$t$は任意の実数）