ベクトル $\vec{a}=(5, -2+t, 1+2t)$ と $\vec{b}=(1, 0, 0)$ のなす角が $45^\circ$ となるように、$t$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}=(5, -2+t, 1+2t)$ と $\vec{b}=(1, 0, 0)$ のなす角が $45^\circ$ となるように、$t$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

ベクトルのなす角の公式を利用します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$

ここで、$\theta$は$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角です。

問題文より $\theta = 45^\circ$ なので、$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

まず、$\vec{a} \cdot \vec{b}$を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (5)(1) + (-2+t)(0) + (1+2t)(0) = 5$

次に、$|\vec{a}|$ を計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-2+t)^2 + (1+2t)^2} = \sqrt{25 + (t^2 -4t + 4) + (4t^2 + 4t + 1)} = \sqrt{5t^2 + 30}$

$|\vec{b}|$ を計算します。

$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$

これらの値を $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$ に代入します。

$5 = \sqrt{5t^2 + 30} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{5t^2 + 30} = 5\sqrt{2}$

両辺を2乗します。

$5t^2 + 30 = 25 \cdot 2 = 50$

$5t^2 = 20$

$t^2 = 4$

$t = \pm 2$

3. 最終的な答え

$t = 2, -2$