与えられた式 $x^2 + xy + x + 2y - 6$ を因数分解し、$(x + \text{ク})(x+y - \text{ケ})$ の形にすること。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + xy + x + 2y - 6$ を因数分解し、$(x + \text{ク})(x+y - \text{ケ})$ の形にすること。

2. 解き方の手順

与えられた式を以下のように変形します。

$x^2 + xy + x + 2y - 6$

$x$ について整理すると、

$x^2 + (y+1)x + (2y - 6)$

次に、$(x + \text{ク})(x+y - \text{ケ})$ の形に因数分解できると仮定して展開します。

$(x + \text{ク})(x+y - \text{ケ}) = x^2 + xy - \text{ケ}x + \text{ク}x + \text{ク}y - \text{ク}\text{ケ}$

$= x^2 + (y + \text{ク} - \text{ケ})x + \text{ク}y - \text{ク}\text{ケ}$

この式と $x^2 + (y+1)x + (2y - 6)$ の各項の係数を比較します。

$x$ の係数について、$y + \text{ク} - \text{ケ} = y + 1$ より、$\text{ク} - \text{ケ} = 1$ が得られます。

定数項について、$\text{ク}y - \text{ク}\text{ケ} = 2y - 6$ が得られます。この式を $\text{ク}(y-\text{ケ})=2(y-3)$ と変形できます。

したがって、$\text{ク} = 2$ かつ $\text{ケ} = 3$ であることがわかります。

$\text{ク} - \text{ケ} = 2 - 3 = -1$ なので、$\text{ク}(y-\text{ケ})=2(y-3)$から考えると、$ク=2$、$ケ=3$となります。

$x^2 + xy + x + 2y - 6 = (x+2)(x+y-3)$ となることを確認します。

$(x+2)(x+y-3)=x^2 + xy - 3x + 2x + 2y - 6 = x^2 + xy - x + 2y - 6$

$x^2 + xy + x + 2y - 6$ の因数分解を試みます。

$x^2 + xy + x + 2y - 6 = x(x+y+1) + 2y - 6$

定数項は $2y - 6 = 2(y-3)$ なので、$(x+2)(x+y-3)$ と因数分解できると予想できます。

実際に展開してみると、

$(x+2)(x+y-3) = x(x+y-3) + 2(x+y-3) = x^2 + xy - 3x + 2x + 2y - 6 = x^2 + xy - x + 2y - 6$

問題文の式と比較すると、 $x^2 + xy + x + 2y - 6$ とあるので、

$x^2 + xy + x + 2y - 6 = (x + 2)(x + y - 3)$

3. 最終的な答え

ク = 2

ケ = 3

したがって、因数分解の結果は $(x + 2)(x+y - 3)$ となります。