与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 5 & 3 \end{pmatrix}$ の逆行列を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 5 & 3 \end{pmatrix}$ の逆行列を求めよ。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるために、拡大行列 $(A | I_3)$ を行基本変形を用いて $(I_3 | A^{-1})$ の形に変形する。ここで、$I_3$ は3次の単位行列である。

まず、拡大行列は以下の通りである。

$(A | I_3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & | & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 3 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(1) 第2行から第1行の2倍を引く ($R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -8 & | & -2 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 3 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(2) 第3行から第1行の3倍を引く ($R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -8 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -15 & | & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 第3行から第2行の2倍を引く ($R_3 \rightarrow R_3 - 2R_2$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -8 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

(4) 第1行から第2行を引く ($R_1 \rightarrow R_1 - R_2$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 14 & | & 3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -8 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

(5) 第1行から第3行の14倍を引く ($R_1 \rightarrow R_1 - 14R_3$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -11 & 27 & -14 \\ 0 & 1 & -8 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

(6) 第2行に第3行の8倍を足す ($R_2 \rightarrow R_2 + 8R_3$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -11 & 27 & -14 \\ 0 & 1 & 0 & | & 6 & -15 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、逆行列は $A^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & 27 & -14 \\ 6 & -15 & 8 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ となる。

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & 27 & -14 \\ 6 & -15 & 8 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$