問題は、2次関数に関する3つの小問から構成されています。 (1) 2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ ($2 \le x \le 8$) について、グラフの頂点の座標と軸を求め、定義域における最大値と最小値とその時のxの値を求めます。 (2) $a > 0$ とする。2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$) について、最大値が7のときの$a$の値と、最小値が-6のときの$a$の値を求めます。 (3) 放物線 $y = x^2$ を、2点 $(2, 3)$, $(5, 0)$ を通るように平行移動した2次関数を求めます。

1. 問題の内容

問題は、2次関数に関する3つの小問から構成されています。

(1) 2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ ($2 \le x \le 8$) について、グラフの頂点の座標と軸を求め、定義域における最大値と最小値とその時のxの値を求めます。

(2) $a > 0$ とする。2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$) について、最大値が7のときの$a$の値と、最小値が-6のときの$a$の値を求めます。

(3) 放物線 $y = x^2$ を、2点 $(2, 3)$, $(5, 0)$ を通るように平行移動した2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

(1) $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ を平方完成します。

$y = \frac{1}{4}(x^2 - 12x) + 10 = \frac{1}{4}(x^2 - 12x + 36 - 36) + 10 = \frac{1}{4}(x - 6)^2 - 9 + 10 = \frac{1}{4}(x - 6)^2 + 1$

よって、頂点は $(6, 1)$ であり、軸は $x = 6$ です。

(2) $2 \le x \le 8$ における最大値と最小値を求めます。

頂点のx座標は6で、定義域に含まれる。

$x = 2$ のとき $y = \frac{1}{4}(2 - 6)^2 + 1 = \frac{1}{4} \times 16 + 1 = 4 + 1 = 5$

$x = 8$ のとき $y = \frac{1}{4}(8 - 6)^2 + 1 = \frac{1}{4} \times 4 + 1 = 1 + 1 = 2$

$x = 6$ のとき $y = 1$ (最小値)

したがって、最大値は $x = 2$ のとき $y = 5$ であり、最小値は $x = 6$ のとき $y = 1$ です。

(2)

(1) $y = ax^2 - 4ax + 2 = a(x^2 - 4x) + 2 = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2 = a(x - 2)^2 - 4a + 2$

軸は $x = 2$ であり、$1 \le x \le 5$ の範囲に含まれる。

$a > 0$ より、この関数は下に凸な放物線であるため、$x = 5$ で最大値をとる。

$y(5) = a(5 - 2)^2 - 4a + 2 = 9a - 4a + 2 = 5a + 2 = 7$

$5a = 5$

$a = 1$

(2) $1 \le x \le 5$ における最小値を考える。軸は $x = 2$ で、$1 \le x \le 5$ の範囲に含まれているので、頂点で最小値をとる。

$y(2) = -4a + 2 = -6$

$-4a = -8$

$a = 2$

(3)

$y = x^2$ を平行移動した放物線は $y = (x - p)^2 + q$ と表せる。

$(2, 3)$ を通るので、$3 = (2 - p)^2 + q$

$(5, 0)$ を通るので、$0 = (5 - p)^2 + q$

$q = -(5 - p)^2$ を $3 = (2 - p)^2 + q$ に代入すると、

$3 = (2 - p)^2 - (5 - p)^2$

$3 = (4 - 4p + p^2) - (25 - 10p + p^2)$

$3 = 4 - 4p + p^2 - 25 + 10p - p^2$

$3 = -21 + 6p$

$24 = 6p$

$p = 4$

$q = -(5 - 4)^2 = -1$

よって、$y = (x - 4)^2 - 1 = x^2 - 8x + 16 - 1 = x^2 - 8x + 15$

3. 最終的な答え

(1) (1) 頂点: (6, 1), 軸: x = 6

(2) x = 2 で最大値 5, x = 6 で最小値 1

(2) (1) a = 1

(2) a = 2

(3) y = x^2 - 8x + 15