実数 $a, b, c$ に対して、次の不等式が成り立つことを示す問題です。 (1) $2(a^4 + b^4) \geq (a+b)(a^3+b^3)$ (2) $3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3)$

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

実数 $a, b, c$ に対して、次の不等式が成り立つことを示す問題です。

(1) $2(a^4 + b^4) \geq (a+b)(a^3+b^3)$

(2) $3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3)$

2. 解き方の手順

(1) の手順:

まず、不等式の両辺の差を計算し、それが0以上であることを示します。

$2(a^4 + b^4) - (a+b)(a^3+b^3) = 2a^4 + 2b^4 - (a^4 + ab^3 + a^3b + b^4) = a^4 - a^3b - ab^3 + b^4$

$= a^3(a-b) - b^3(a-b) = (a-b)(a^3 - b^3) = (a-b)(a-b)(a^2 + ab + b^2) = (a-b)^2(a^2 + ab + b^2)$

ここで、$a^2 + ab + b^2 = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \geq 0$ であるため、

$(a-b)^2(a^2 + ab + b^2) \geq 0$ となります。

よって、$2(a^4 + b^4) \geq (a+b)(a^3+b^3)$ が成り立ちます。

(2) の手順:

(1)と同様に、不等式の両辺の差を計算し、それが0以上であることを示します。

$3(a^4 + b^4 + c^4) - (a+b+c)(a^3+b^3+c^3) = 3(a^4 + b^4 + c^4) - (a^4 + ab^3 + ac^3 + a^3b + b^4 + bc^3 + a^3c + b^3c + c^4)$

$= 2a^4 + 2b^4 + 2c^4 - ab^3 - ac^3 - a^3b - bc^3 - a^3c - b^3c$

$= (a^4 - a^3b - ab^3 + b^4) + (a^4 - a^3c - ac^3 + c^4) + (b^4 - b^3c - bc^3 + c^4)$

$= (a-b)^2(a^2 + ab + b^2) + (a-c)^2(a^2 + ac + c^2) + (b-c)^2(b^2 + bc + c^2)$

ここで、$a^2 + ab + b^2 \geq 0, a^2 + ac + c^2 \geq 0, b^2 + bc + c^2 \geq 0$ であるため、

$(a-b)^2(a^2 + ab + b^2) + (a-c)^2(a^2 + ac + c^2) + (b-c)^2(b^2 + bc + c^2) \geq 0$ となります。

よって、$3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $2(a^4 + b^4) \geq (a+b)(a^3+b^3)$

(2) $3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3)$