$t = 2^x$ とおいたとき、$h(x)$ を $t$ を用いて表し、$h(x)$ の最小値を求め、$h(x)$ が最小となる $x$ の値を求める問題です。ただし、$-1 \leq x \leq \frac{1}{2}$ の範囲で考えます。

1. 問題の内容

$t = 2^x$ とおいたとき、$h(x)$ を $t$ を用いて表し、$h(x)$ の最小値を求め、$h(x)$ が最小となる $x$ の値を求める問題です。ただし、$-1 \leq x \leq \frac{1}{2}$ の範囲で考えます。

2. 解き方の手順

まず、$t = 2^x$ とおきます。

$h(x) = f(x) + g(x) = 4^x - \frac{1}{2} \cdot 2^{x+1} + 4 = (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x + 4$

よって、

$h(x) = t^2 - 2t + 4$

$h(x)$ を平方完成すると、

$h(x) = (t-1)^2 + 3$

$-1 \leq x \leq \frac{1}{2}$ であるから、 $2^{-1} \leq 2^x \leq 2^{\frac{1}{2}}$

つまり、$\frac{1}{2} \leq t \leq \sqrt{2}$

$h(x)$ は $t = 1$ のとき最小値をとります。

$t = 1$ は $\frac{1}{2} \leq t \leq \sqrt{2}$ の範囲に含まれます。

$t = 1$ のとき、 $h(x) = (1-1)^2 + 3 = 3$

$t = 1$ となる $x$ は、$2^x = 1$ より $x = 0$

$h(x)$ が最小となるのは $x = 0$ のときで、そのときの最小値は $3$ です。

3. 最終的な答え

カ: $t^2 - 2t + 4$

キ: $2$

ク: $1$

ケ: $3$

コ: $3$

サ: $3$

シ: $0$

ス: $0$

セ: $3$

ソ: $0$

タ: $3$

チ: $0$

ツ: $3$

テ: $0$