2次方程式 $x^2 - 2ax + a + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とする。 (1) $\alpha, \beta$ がともに1より大きくなるような $a$ の値の範囲を求めよ。 (2) $1 < \alpha < 2 < \beta < 3$ となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax + a + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とする。

(1) $\alpha, \beta$ がともに1より大きくなるような $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) $1 < \alpha < 2 < \beta < 3$ となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、2次方程式が実数解を持つ条件を確認する。判別式 $D \ge 0$ である必要がある。

$D = (-2a)^2 - 4(a+2) = 4a^2 - 4a - 8 = 4(a^2 - a - 2) = 4(a-2)(a+1)$

$D \ge 0$ より、$(a-2)(a+1) \ge 0$ なので $a \le -1$ または $a \ge 2$。

次に、2つの解がともに1より大きくなる条件を考える。

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ とすると、以下の条件を満たす必要がある。

(i) $D \ge 0$

(ii) 軸 > 1

(iii) $f(1) > 0$

(i) はすでに確認済みで、$a \le -1$ または $a \ge 2$。

(ii) 軸は $x = a$ なので、$a > 1$。

(iii) $f(1) = 1 - 2a + a + 2 = 3 - a > 0$ より、$a < 3$。

これらをすべて満たす $a$ の範囲は、$2 \le a < 3$。

(2)

$1 < \alpha < 2 < \beta < 3$ となる条件を考える。

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ とすると、以下の条件を満たす必要がある。

(i) $f(1) > 0$

(ii) $f(2) < 0$

(iii) $f(3) > 0$

(i) $f(1) = 1 - 2a + a + 2 = 3 - a > 0$ より、$a < 3$。

(ii) $f(2) = 4 - 4a + a + 2 = 6 - 3a < 0$ より、$3a > 6$ なので、$a > 2$。

(iii) $f(3) = 9 - 6a + a + 2 = 11 - 5a > 0$ より、$5a < 11$ なので、$a < \frac{11}{5}$。

これらをすべて満たす $a$ の範囲は、$2 < a < \frac{11}{5}$。

3. 最終的な答え

(1) $2 \le a < 3$

(2) $2 < a < \frac{11}{5}$