$z^2 = 16+16i$ という複素数の方程式の解を求め、その解が複素数平面上でどの象限に存在するかを調べる問題です。

1. 問題の内容

$z^2 = 16+16i$ という複素数の方程式の解を求め、その解が複素数平面上でどの象限に存在するかを調べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、$16+16i$を極形式で表します。

$16+16i = 16\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$となります。

したがって、

$r^2 = 16\sqrt{2}$ なので、 $r = \sqrt{16\sqrt{2}} = 2\sqrt[4]{8}$

また、$2\theta = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ (nは整数) なので、$\theta = \frac{\pi}{8} + n\pi$

$0 \leq \theta < 2\pi$ なので、

$n=0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{8}$

$n=1$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{8} + \pi = \frac{9\pi}{8}$

よって、$z = 2\sqrt[4]{8}(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}), 2\sqrt[4]{8}(\cos\frac{9\pi}{8} + i\sin\frac{9\pi}{8})$ の2つの解が得られます。

$\frac{\pi}{8}$ は第1象限にあり、$\frac{9\pi}{8}$ は第3象限にあります。

3. 最終的な答え

アイ: $16\sqrt{2}$

ウ: $\cos$

エ: $\frac{\pi}{4}$

オ: $2\theta$

カ: $\frac{\pi}{4}$

キク: $\frac{\pi}{8}$

ケ: $1$

コ: $0$

サ: $1$

シ: $2$