$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ であるとき、$18^{18}$ の桁数を求める問題です。

1. 問題の内容

$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ であるとき、$18^{18}$ の桁数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$18^{18}$ の桁数を求めるために、$log_{10} 18^{18}$ を計算します。

まず、対数の性質より

$log_{10} 18^{18} = 18 \log_{10} 18$

次に、18を素因数分解すると $18 = 2 \times 3^2$ なので、

$\log_{10} 18 = \log_{10} (2 \times 3^2) = \log_{10} 2 + \log_{10} 3^2 = \log_{10} 2 + 2 \log_{10} 3$

与えられた値 $\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ を代入すると、

$\log_{10} 18 = 0.3010 + 2 \times 0.4771 = 0.3010 + 0.9542 = 1.2552$

したがって、

$18 \log_{10} 18 = 18 \times 1.2552 = 22.5936$

$18^{18}$ の桁数は、$log_{10} 18^{18}$ の整数部分に1を加えたものです。

$log_{10} 18^{18} = 22.5936$ の整数部分は22なので、桁数は $22+1 = 23$ です。

3. 最終的な答え

$18^{18}$ の桁数は23桁です。