$m$ は定数とする。以下の2次方程式の解の種類を判別する。 (1) $x^2 - 5x + 3 - 2m = 0$ (2) $4x^2 + (m-1)x + 1 = 0$

1. 問題の内容

$m$ は定数とする。以下の2次方程式の解の種類を判別する。

(1) $x^2 - 5x + 3 - 2m = 0$

(2) $4x^2 + (m-1)x + 1 = 0$

2. 解き方の手順

2次方程式の解の種類は、判別式 $D$ の符号によって決まる。

$D > 0$ ならば異なる2つの実数解、 $D = 0$ ならば重解（実数解）、 $D < 0$ ならば異なる2つの虚数解となる。

(1) $x^2 - 5x + 3 - 2m = 0$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (-5)^2 - 4(1)(3 - 2m) = 25 - 12 + 8m = 13 + 8m$

$D_1 > 0$ のとき、 $13 + 8m > 0$ より $m > -\frac{13}{8}$。よって異なる2つの実数解を持つ。

$D_1 = 0$ のとき、 $13 + 8m = 0$ より $m = -\frac{13}{8}$。よって重解を持つ。

$D_1 < 0$ のとき、 $13 + 8m < 0$ より $m < -\frac{13}{8}$。よって異なる2つの虚数解を持つ。

(2) $4x^2 + (m-1)x + 1 = 0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (m-1)^2 - 4(4)(1) = m^2 - 2m + 1 - 16 = m^2 - 2m - 15 = (m - 5)(m + 3)$

$D_2 > 0$ のとき、 $(m - 5)(m + 3) > 0$ より $m < -3$ または $m > 5$。よって異なる2つの実数解を持つ。

$D_2 = 0$ のとき、 $(m - 5)(m + 3) = 0$ より $m = -3$ または $m = 5$。よって重解を持つ。

$D_2 < 0$ のとき、 $(m - 5)(m + 3) < 0$ より $-3 < m < 5$。よって異なる2つの虚数解を持つ。

3. 最終的な答え

(1)

$m > -\frac{13}{8}$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$m = -\frac{13}{8}$ のとき、重解を持つ。

$m < -\frac{13}{8}$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

(2)

$m < -3$ または $m > 5$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$m = -3$ または $m = 5$ のとき、重解を持つ。

$-3 < m < 5$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。