与えられた3つの2次方程式について、それぞれ以下の条件を満たすように定数 $m$ の値または値の範囲を求める問題です。 (1) $x^2 + 5mx + m = 0$ が異なる2つの実数解をもつ。 (2) $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ が重解をもつ。 (3) $x^2 + mx + 2m - 3 = 0$ が異なる2つの虚数解をもつ。

1. 問題の内容

与えられた3つの2次方程式について、それぞれ以下の条件を満たすように定数 $m$ の値または値の範囲を求める問題です。

(1) $x^2 + 5mx + m = 0$ が異なる2つの実数解をもつ。

(2) $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ が重解をもつ。

(3) $x^2 + mx + 2m - 3 = 0$ が異なる2つの虚数解をもつ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式を $D = b^2 - 4ac$ とします。

(1) 異なる2つの実数解をもつ条件は $D > 0$ です。

(2) 重解をもつ条件は $D = 0$ です。

(3) 異なる2つの虚数解をもつ条件は $D < 0$ です。

(1) $x^2 + 5mx + m = 0$ の判別式 $D_1$ は、

$D_1 = (5m)^2 - 4(1)(m) = 25m^2 - 4m$

$D_1 > 0$ より、

$25m^2 - 4m > 0$

$m(25m - 4) > 0$

$m < 0$ または $m > \frac{4}{25}$

(2) $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ の判別式 $D_2$ は、

$D_2 = (-2m)^2 - 4(1)(m + 2) = 4m^2 - 4m - 8$

$D_2 = 0$ より、

$4m^2 - 4m - 8 = 0$

$m^2 - m - 2 = 0$

$(m - 2)(m + 1) = 0$

$m = 2$ または $m = -1$

(3) $x^2 + mx + 2m - 3 = 0$ の判別式 $D_3$ は、

$D_3 = (m)^2 - 4(1)(2m - 3) = m^2 - 8m + 12$

$D_3 < 0$ より、

$m^2 - 8m + 12 < 0$

$(m - 2)(m - 6) < 0$

$2 < m < 6$

3. 最終的な答え

(1) $m < 0$ または $m > \frac{4}{25}$

(2) $m = 2, -1$

(3) $2 < m < 6$