初項80, 公差-3の等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の問題を解く。 (1) 初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。 (2) 初項から第何項までの和が初めて負となるか。 (3) 初項から第何項までの和が最大となるか。

1. 問題の内容

初項80, 公差-3の等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の問題を解く。

(1) 初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

(2) 初項から第何項までの和が初めて負となるか。

(3) 初項から第何項までの和が最大となるか。

2. 解き方の手順

(1) 初項 $a_1 = 80$, 公差 $d = -3$ の等差数列の第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、以下の式で表される。

$S_n = \frac{n}{2}\{2a_1 + (n-1)d\}$

$S_n = \frac{n}{2}\{2(80) + (n-1)(-3)\}$

$S_n = \frac{n}{2}\{160 - 3n + 3\}$

$S_n = \frac{n}{2}(163 - 3n)$

(2) $S_n < 0$ となる $n$ を求める。

$\frac{n}{2}(163 - 3n) < 0$

$n > 0$ より、$163 - 3n < 0$

$3n > 163$

$n > \frac{163}{3} = 54.333...$

$n$ は自然数なので、初めて $S_n < 0$ となるのは $n=55$ のときである。

(3) $S_n$ が最大となる $n$ を求める。

$a_n = a_1 + (n-1)d = 80 + (n-1)(-3) = 80 - 3n + 3 = 83 - 3n$

$a_n > 0$ となる $n$ を求める。

$83 - 3n > 0$

$3n < 83$

$n < \frac{83}{3} = 27.666...$

したがって、$n \le 27$ のとき、$a_n > 0$ である。

$a_{27} = 83 - 3(27) = 83 - 81 = 2 > 0$

$a_{28} = 83 - 3(28) = 83 - 84 = -1 < 0$

$a_n$ が正である項までの和が最大になるため、$S_n$ が最大となるのは $n=27$ のときである。

3. 最終的な答え

(1) $S_n = \frac{n}{2}(163 - 3n)$

(2) 初めて和が負となるのは第55項まで

(3) 和が最大となるのは第27項まで