初項80、公差-3の等差数列{a_n}について、以下の問いに答える。 (1) 初項から第n項までの和を求めよ。 (2) 初項から第何項までの和が初めて負となるか。 (3) 初項から第何項までの和が最大となるか。

## 数学の問題の解答

1. **問題の内容**

初項80、公差-3の等差数列{a_n}について、以下の問いに答える。

(1) 初項から第n項までの和を求めよ。

(2) 初項から第何項までの和が初めて負となるか。

(3) 初項から第何項までの和が最大となるか。

2. **解き方の手順**

(1) 初項から第n項までの和S_nを求める。

等差数列の和の公式を使う。初項をa、公差をdとすると、

$S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}$

問題文より、a=80, d=-3なので、これを代入する。

(2) S_n < 0となる最小の自然数nを求める。

(1)で求めたS_nの式を用いて、S_n < 0を満たすnの範囲を求める。

そして、その範囲の中で最小の自然数nを探す。

(3) 初項から第何項までの和が最大となるかを求める。

a_n > 0となる最大のnを求める。すなわち、一般項a_nが正である項までの和が最大となる。

一般項a_nは$a_n = a + (n-1)d$で表されるので、a_n > 0を満たすnの範囲を求め、最大の自然数nを求める。

または、S_nをnの二次関数とみなし、頂点のn座標を求める方法もある。

**計算**

(1)

$S_n = \frac{n}{2} \{2(80) + (n-1)(-3)\}$

$S_n = \frac{n}{2} \{160 - 3n + 3\}$

$S_n = \frac{n}{2} (163 - 3n)$

$S_n = \frac{-3n^2 + 163n}{2}$

(2)

$S_n < 0$となるnを求める

$\frac{-3n^2 + 163n}{2} < 0$

$-3n^2 + 163n < 0$

$n(-3n + 163) < 0$

$n(3n - 163) > 0$

$n < 0$ または $n > \frac{163}{3}$

$\frac{163}{3} \approx 54.33$

nは自然数なので、n > 54.33を満たす最小の自然数は55

(3)

$a_n > 0$となるnを求める

$a_n = 80 + (n-1)(-3) > 0$

$80 -3n + 3 > 0$

$-3n > -83$

$3n < 83$

$n < \frac{83}{3}$

$\frac{83}{3} \approx 27.67$

nは自然数なので、n < 27.67を満たす最大の自然数は27

3. **最終的な答え**

(1) 初項から第n項までの和: $S_n = \frac{-3n^2 + 163n}{2}$

(2) 初めて和が負となる項数: 55

(3) 和が最大となる項数: 27