与えられた式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、2次式部分の $3x^2 - 14xy + 15y^2$ を因数分解します。

これは $(3x - 5y)(x - 3y)$ と因数分解できます。

次に、与えられた式を

$(3x - 5y + a)(x - 3y + b)$

の形に因数分解できると仮定します。

展開すると、

$3x^2 - 9xy + 3bx - 5xy + 15y^2 - 5by + ax - 3ay + ab$

$= 3x^2 - 14xy + 15y^2 + (3b + a)x + (-5b - 3a)y + ab$

元の式と比較すると、

$3b + a = 13$

$-5b - 3a = -23$

$ab = 4$

連立方程式を解きます。

$a = 13 - 3b$ を $-5b - 3a = -23$ に代入すると、

$-5b - 3(13 - 3b) = -23$

$-5b - 39 + 9b = -23$

$4b = 16$

$b = 4$

$a = 13 - 3b = 13 - 3(4) = 13 - 12 = 1$

$ab = 1 \cdot 4 = 4$ となり、条件を満たします。

したがって、与えられた式は

$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$

と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$