数列 $\{a_n\}$ が、$a_1=6$, $a_{n+1}=3a_n - 6n + 3$ (n=1, 2, 3, ...) で定義されている。 (1) $a_{n+1} - a_n = b_n$ とするとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表せ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1=6$, $a_{n+1}=3a_n - 6n + 3$ (n=1, 2, 3, ...) で定義されている。

(1) $a_{n+1} - a_n = b_n$ とするとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表せ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $b_{n+1}$ を $b_n$ で表す。

$a_{n+1} - a_n = b_n$ より $a_{n+1} = a_n + b_n$ である。

与えられた漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 6n + 3$ において、$n$ を $n+1$ に置き換えると、

$a_{n+2} = 3a_{n+1} - 6(n+1) + 3 = 3a_{n+1} - 6n - 3$

ここで、$a_{n+2} - a_{n+1} = b_{n+1}$ であるから、

$b_{n+1} = (3a_{n+1} - 6n - 3) - a_{n+1} = 2a_{n+1} - 6n - 3$

$a_{n+1} = a_n + b_n$ を代入して、

$b_{n+1} = 2(a_n + b_n) - 6n - 3 = 2a_n + 2b_n - 6n - 3$

一方、$a_{n+1} = 3a_n - 6n + 3$ より $a_n = \frac{a_{n+1} + 6n - 3}{3}$ であるから、

$b_n = a_{n+1} - a_n = (3a_n - 6n + 3) - a_n = 2a_n - 6n + 3$

よって、$2a_n = b_n + 6n - 3$

$b_{n+1} = (b_n + 6n - 3) + 2b_n - 6n - 3 = 3b_n - 6$

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

(1)より、$b_{n+1} = 3b_n - 6$

$b_{n+1} - 3 = 3(b_n - 3)$

$c_n = b_n - 3$ とおくと、$c_{n+1} = 3c_n$

$c_1 = b_1 - 3 = (a_2 - a_1) - 3 = (3a_1 - 6(1) + 3) - a_1 - 3 = 2a_1 - 6 = 2(6) - 6 = 6$

よって、$c_n = c_1 \cdot 3^{n-1} = 6 \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^n$

$b_n = c_n + 3 = 2 \cdot 3^n + 3$

$a_{n+1} - a_n = 2 \cdot 3^n + 3$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2 \cdot 3^k + 3) = 6 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} 3^k + \sum_{k=1}^{n-1} 3$

$\sum_{k=1}^{n-1} 3^k = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3}{2} (3^{n-1} - 1)$

$\sum_{k=1}^{n-1} 3 = 3(n-1)$

$a_n = 6 + 2 \cdot \frac{3}{2} (3^{n-1} - 1) + 3(n-1) = 6 + 3(3^{n-1} - 1) + 3n - 3 = 6 + 3^n - 3 + 3n - 3 = 3^n + 3n$

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} = 3b_n - 6$

(2) $a_n = 3^n + 3n$