2つの集合AとBが与えられています。 Aは $5x + 3y$ （$x, y$は整数）の形で表される数の集合であり、Bはすべての整数の集合です。 以下の3つのことを示す必要があります。 (1) $A \subset B$ (2) $1 \in A$ (3) $A = B$

1. 問題の内容

2つの集合AとBが与えられています。

Aは $5x + 3y$ （$x, y$は整数）の形で表される数の集合であり、Bはすべての整数の集合です。

以下の3つのことを示す必要があります。

(1) $A \subset B$

(2) $1 \in A$

(3) $A = B$

2. 解き方の手順

(1) $A \subset B$ を示す。

Aの任意の要素は $5x + 3y$ （$x, y$は整数）の形をしています。$x$と$y$が整数であるため、$5x$も$3y$も整数です。整数の和は整数であるため、$5x + 3y$は整数です。したがって、Aのすべての要素は整数であり、つまりBの要素です。したがって、$A \subset B$が成り立ちます。

(2) $1 \in A$ を示す。

$1$が$A$の要素であることを示すには、$5x + 3y = 1$となるような整数$x$と$y$を見つければ良いです。

$x = 2$、$y = -3$とすると、

$5x + 3y = 5(2) + 3(-3) = 10 - 9 = 1$

したがって、$1$はAの要素です。つまり、$1 \in A$が成り立ちます。

(3) $A = B$ を示す。

$A \subset B$ は既に(1)で示しました。

次に、$B \subset A$ を示す必要があります。

Bの任意の要素を $n$ とします ($n$は整数)。

(2)より、$1 \in A$ なので、$1 = 5x + 3y$となる整数$x, y$が存在します。

$1 \in A$なので、$n = n \cdot 1 = n(5x + 3y) = 5(nx) + 3(ny)$

$nx$と$ny$は整数なので、$n$はAの要素です。

したがって、$B \subset A$が成り立ちます。

$A \subset B$ かつ $B \subset A$ であるので、$A = B$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $A \subset B$

Aの要素 $5x+3y$ は整数であるので、$A \subset B$

(2) $1 \in A$

$5(2) + 3(-3) = 1$ であるので、$1 \in A$

(3) $A = B$

(1)より $A \subset B$

$n$ を任意の整数とすると、$n = n \cdot 1 = n(5(2) + 3(-3)) = 5(2n) + 3(-3n)$

$2n$ と $-3n$ は整数であるので、$n \in A$

よって $B \subset A$

したがって、$A = B$