初項 $70$, 公差 $-4$ の等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答える。 (1) 初項から第何項までの和が初めて負となるか。 (2) 初項から第何項までの和が最大となるか。また、そのときの和を求めよ。

## 問題216

1. 問題の内容

初項 $70$, 公差 $-4$ の等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答える。

(1) 初項から第何項までの和が初めて負となるか。

(2) 初項から第何項までの和が最大となるか。また、そのときの和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の和の公式を用いて、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。$S_n < 0$ となる最小の自然数 $n$ を求める。

等差数列の和の公式は、

$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$

ここで、$a = 70$, $d = -4$ なので、

$S_n = \frac{n}{2} (2 \cdot 70 + (n-1) \cdot (-4))$

$S_n = \frac{n}{2} (140 - 4n + 4)$

$S_n = \frac{n}{2} (144 - 4n)$

$S_n = n(72 - 2n)$

$S_n = -2n^2 + 72n$

$S_n < 0$ を解く。

$-2n^2 + 72n < 0$

$2n^2 - 72n > 0$

$2n(n - 36) > 0$

$n < 0$ または $n > 36$

$n$ は自然数なので、$n > 36$。したがって、$n = 37$ のとき $S_n$ が初めて負となる。

(2) $a_n$ の符号が変わる項を求める。

$a_n = a + (n-1)d$

$a_n = 70 + (n-1)(-4)$

$a_n = 70 - 4n + 4$

$a_n = 74 - 4n$

$a_n > 0$ となる $n$ を求める。

$74 - 4n > 0$

$4n < 74$

$n < \frac{74}{4} = 18.5$

$n = 18$ のとき $a_{18} > 0$ であり、$n = 19$ のとき $a_{19} < 0$ となる。したがって、第 $18$ 項までの和が最大となる。

$S_{18} = -2 \cdot 18^2 + 72 \cdot 18 = 18(-2 \cdot 18 + 72) = 18(-36 + 72) = 18 \cdot 36 = 648$

3. 最終的な答え

(1) 第37項までの和が初めて負となる。

(2) 第18項までの和が最大となり、そのときの和は648である。