問題は、与えられた等比数列の初項と公比から一般項 $a_n$ を求め、さらに第6項 $a_6$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、与えられた等比数列の初項と公比から一般項 $a_n$ を求め、さらに第6項 $a_6$ を求めることです。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は、初項を $a$、公比を $r$ とすると、

$a_n = a \cdot r^{n-1}$

で表されます。

(1) 初項 $a = 7$, 公比 $r = 2$ の場合

一般項は、

$a_n = 7 \cdot 2^{n-1}$

第6項は、

$a_6 = 7 \cdot 2^{6-1} = 7 \cdot 2^5 = 7 \cdot 32 = 224$

(2) 初項 $a = 1$, 公比 $r = -\frac{1}{4}$ の場合

一般項は、

$a_n = 1 \cdot (-\frac{1}{4})^{n-1} = (-\frac{1}{4})^{n-1}$

第6項は、

$a_6 = (-\frac{1}{4})^{6-1} = (-\frac{1}{4})^5 = -\frac{1}{4^5} = -\frac{1}{1024}$

(3) 初項 $a = -5$, 公比 $r = \frac{2}{3}$ の場合

一般項は、

$a_n = -5 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$

第6項は、

$a_6 = -5 \cdot (\frac{2}{3})^{6-1} = -5 \cdot (\frac{2}{3})^5 = -5 \cdot \frac{2^5}{3^5} = -5 \cdot \frac{32}{243} = -\frac{160}{243}$

(4) 等比数列 $-3, 9, -27, 81, ...$ の場合

初項 $a = -3$ です。公比 $r$ は、

$r = \frac{9}{-3} = -3$

一般項は、

$a_n = -3 \cdot (-3)^{n-1} = (-3)^1 \cdot (-3)^{n-1} = (-3)^n$

第6項は、

$a_6 = (-3)^6 = 729$

(5) 等比数列 $-1, -\frac{1}{5}, -\frac{1}{25}, -\frac{1}{125}, ...$ の場合

初項 $a = -1$ です。公比 $r$ は、

$r = \frac{-\frac{1}{5}}{-1} = \frac{1}{5}$

一般項は、

$a_n = -1 \cdot (\frac{1}{5})^{n-1} = -(\frac{1}{5})^{n-1}$

第6項は、

$a_6 = -(\frac{1}{5})^{6-1} = -(\frac{1}{5})^5 = -\frac{1}{5^5} = -\frac{1}{3125}$

3. 最終的な答え

(1) 一般項: $a_n = 7 \cdot 2^{n-1}$, 第6項: $a_6 = 224$

(2) 一般項: $a_n = (-\frac{1}{4})^{n-1}$, 第6項: $a_6 = -\frac{1}{1024}$

(3) 一般項: $a_n = -5 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$, 第6項: $a_6 = -\frac{160}{243}$

(4) 一般項: $a_n = (-3)^n$, 第6項: $a_6 = 729$

(5) 一般項: $a_n = -(\frac{1}{5})^{n-1}$, 第6項: $a_6 = -\frac{1}{3125}$