$\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、$12 - 6\sqrt{3}$ を $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$ の形に変形することを考えます。ここで、$a > b$ とします。

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$ となるので、

$a + b = 12$

$2\sqrt{ab} = 6\sqrt{3}$

$\sqrt{ab} = 3\sqrt{3} = \sqrt{27}$

$ab = 27$

$a + b = 12$ と $ab = 27$ を満たす $a$ と $b$ を見つけます。

$a$ と $b$ は二次方程式 $x^2 - 12x + 27 = 0$ の解です。

$(x-3)(x-9) = 0$ なので、$x = 3, 9$。

よって、$a = 9$、$b = 3$ となります。

$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{9} - \sqrt{3})^2} = |\sqrt{9} - \sqrt{3}| = |3 - \sqrt{3}|$

$3 > \sqrt{3}$ なので、

$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = 3 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$3-\sqrt{3}$