$x, y, z$が正の実数のとき、以下の不等式を示す問題です。 $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}{3} \le \sqrt{\frac{x+y+z}{3}}$

1. 問題の内容

$x, y, z$が正の実数のとき、以下の不等式を示す問題です。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}{3} \le \sqrt{\frac{x+y+z}{3}}$

2. 解き方の手順

この不等式は、コーシー・シュワルツの不等式またはイェンセンの不等式を用いて証明できます。ここではイェンセンの不等式を用います。

関数 $f(x) = \sqrt{x}$ を考えます。この関数の2階微分は $f''(x) = -\frac{1}{4} x^{-3/2}$ であり、$x > 0$ に対して $f''(x) < 0$ であるため、$f(x)$ は上に凸な関数です。

イェンセンの不等式より、上に凸な関数 $f(x)$ に対して、以下の不等式が成り立ちます。

$f\left(\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}\right) \ge \frac{f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)}{n}$

ここで、$n = 3$、$x_1 = x$、$x_2 = y$、$x_3 = z$、$f(x) = \sqrt{x}$ を代入すると、

$\sqrt{\frac{x+y+z}{3}} \ge \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}{3}$

となり、問題の不等式が示されました。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}{3} \le \sqrt{\frac{x+y+z}{3}}$