$a > \sqrt{2}$ のとき、次の3つの数 $\frac{a+2}{a+1}$, $\frac{a}{2} + \frac{1}{a}$, $\sqrt{2}$ を小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

$a > \sqrt{2}$ のとき、次の3つの数 $\frac{a+2}{a+1}$, $\frac{a}{2} + \frac{1}{a}$, $\sqrt{2}$ を小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

まず、$a = \sqrt{2}$ の場合に各数の値を計算してみます。

* $\frac{a+2}{a+1} = \frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{2} + 2)(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2 - \sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2}{2 - 1} = \sqrt{2}$

* $\frac{a}{2} + \frac{1}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

* $\sqrt{2} = \sqrt{2}$

$a = \sqrt{2}$ のときは、３つの値は全て等しくなります。

次に、$a > \sqrt{2}$ の場合の大小関係を考えます。

$\frac{a+2}{a+1} = \frac{a+1+1}{a+1} = 1 + \frac{1}{a+1}$

$a$ が大きくなると、$a+1$ も大きくなるので、$\frac{1}{a+1}$ は小さくなります。

したがって、$1 + \frac{1}{a+1}$ は小さくなります。

次に、$\frac{a}{2} + \frac{1}{a}$ の大小関係を考えます。

$f(a) = \frac{a}{2} + \frac{1}{a}$ とすると、$f'(a) = \frac{1}{2} - \frac{1}{a^2}$

$f'(a) = 0$ のとき、$a^2 = 2$ より、$a = \sqrt{2}$

$a > \sqrt{2}$ では、$f'(a) > 0$ であるので、$f(a)$ は増加関数です。

したがって、$a > \sqrt{2}$ のとき、$\sqrt{2} < \frac{a+2}{a+1}$ および $\sqrt{2} < \frac{a}{2} + \frac{1}{a}$ が成り立ちます。

$\frac{a+2}{a+1}$ と $\frac{a}{2} + \frac{1}{a}$ の大小関係を比較します。

$a > \sqrt{2}$ とすると、$a = \sqrt{2} + \epsilon$ （$\epsilon > 0$）とおけます。

$\frac{a+2}{a+1} - (\frac{a}{2} + \frac{1}{a}) = \frac{a+2}{a+1} - \frac{a^2 + 2}{2a} = \frac{2a(a+2) - (a+1)(a^2 + 2)}{2a(a+1)} = \frac{2a^2 + 4a - (a^3 + a^2 + 2a + 2)}{2a(a+1)} = \frac{-a^3 + a^2 + 2a - 2}{2a(a+1)} = \frac{-(a^3 - a^2 - 2a + 2)}{2a(a+1)} = \frac{-(a-1)(a^2 - 2)}{2a(a+1)}$

$a > \sqrt{2}$ より、$a^2 - 2 > 0$

$a > \sqrt{2} > 1$ より、$a - 1 > 0$

したがって、$\frac{-(a-1)(a^2 - 2)}{2a(a+1)} < 0$ となります。

よって、$\frac{a+2}{a+1} < \frac{a}{2} + \frac{1}{a}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$, $\frac{a+2}{a+1}$, $\frac{a}{2} + \frac{1}{a}$